1.线性规划

求线性规划问题的最优解有两种方法，一种方法是使用linprog命令，另一种是使用optimtool工具箱，下面分别介绍这两种方法.

①linprog命令

一般情况下，Linprog命令的参数形式为[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)，下面分别介绍各参数的含义.

[x,fval]返回值中x为最优解，fval为最优值.

f表示目标函数中各个变量前面的系数向量，如果是求最小值问题，那么f就是各个变量的系数，如果是求最大值问题，那么f就是各个变量的系数的相反数.

A和b    表示不等式约束A*x <=b中的矩阵A和向量b.

Aeq和beq    表示等式约束Aeq*x =beq中的矩阵Aeq和向量beq.

lb和ub    分别表示自变量的上下界组成的向量，如果没有上下界，该选项用[]表示，如果只有部分变量有上下界，其余的变量没有，那么可以把没有上下界的变量的上下界设为-inf或者inf使lb或者ub的长度符合要求.

x0    表示变量的初始值，可以缺省.

例，求如下的线性规划问题

由目标函数可知f=[-5;-4;-6];

由约束条件可知矩阵A = [1 -11;3 2 4;3 2 0];右端向量为b = [20;42;30];

由自变量都大于零可知lb =[0;0;0];

所以求该线性规划问题最优解的代码如下

f = [-5;-4;-6];

A = [1 -1 1;3 24;3 2 0];

b = [20;42;30];

lb = [0;0;0];

[x,fval] =linprog(f,A,b,[],[],lb)

其中Aeq和beq都为空，因为没有等式约束条件，只有不等式约束条件.

②optimtool工具箱

在Command窗口输入optimtool，即可弹出optimtool工具箱，如下

工具箱可以大致分为5个部分.第5部分为说明文档，第4部分为优化选项，第3部分为最优解和最优值的显示区域，第2部分为约束条件输入区，第1部分可以填入目标函数值，初始值等.

利用工具箱求解①的问题，填入相应的数据，然后点击【start】按钮，得到结果如下

可以看到，最优解与linprog命令的方式求得的结果是相同的，但最优值不是-78，因为这是迭代的结果，只有在迭代次数区域无穷的时候，才能得到准确值-78.

再举一例，利用MATLAB求解下面这个线性规划问题

这是求最大值问题，要先将问题化为求解最小值的问题，再进行求解.

利用linprog命令求解上述问题的代码如下

f = [-2;-3;5];

A = [-2 5 -1];b= [-10];

Aeq = [1 11];beq = [7];

lb = [0;0;0];

[x,feval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)

利用optimtool工具箱来求解过程如下图

可以验证，两种求解方法的结果是相同的.最后取最优值为图中显示的最优值的相反数.

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2.非线性规划

也有两种求解的方法，一种是fmincon命令，另一种是optimtool工具箱.

①fmincon命令

fmincon命令的一般参数形式为fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlinearcondition’)，其中各个参数含义如下

fun    目标函数(以求最小值为目标函数)

x0     最优解迭代的初始值

A,b    线性约束不等式A*x<= b

Aeq,beq    线性约束等式Aeq*x =beq

lb,ub   自变量的上下界

nonlinearcondition   非线性约束函数，它有两个返回值，其中一个为非线性不等式约

束，另一个是非线性等式约束(具体举例说明该项参数的设置)

在具体编写代码过程中，可以将线性约束也写在非线性约束函数nonlinearcondition中，简化代码.

例1，求下面这个非线性规划问题的最优值

首先，编写目标函数的M函数文件，并保存为fun.m代码如下

function f =fun(x)

f = x(1)^2 + x(2)^2 + 8;

end

其次，编写线性和非线性约束的等式或不等式，编写M函数文件，并保存为nonlinearcondition.m，代码如下

function [f,ceq] = nonlinearcondition(x)

    f = - x(1)^2 + x(2);

    ceq = - x(1) - x(2)^2 + 2;             %非线性等式约束

end

最后，在Command窗口输入如下代码

[x,fval] =fmincon(\'fun\',[0;0],[],[],[],[],[0;0],[],\'nonlinearcondition\')

即可得到最优值和最优解为x = [1;1]，fval = 10.

例2，求下面这个非线性规划问题的最优值

首先，编写目标函数的M函数文件，由于求得是最大值，所以先化为求最小值问题，再原目标函数前面添加负号即可，M函数文件如下，保存为fun.m.

function f =fun(x)

f = -(sqrt(x(1)) + sqrt(x(2)) + sqrt(x(3)) +sqrt(x(4)));

end

然后，编写线性和非线性约束不等式已经非线性约束等式的M函数文件，保存为nonlinearcondition.m，代码如下

function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)

%非线性和线性不等式有4个

f(1) =x(1) - 400;

f(2) =1.1*x(1) + x(2) - 440;

f(3) =1.21*x(1) + 1.1*x(2) + x(3) - 484;

f(4) =1.331*x(1) + 1.21*x(2) + 1.1*x(3) + x(4) - 532.4;

ceq = 0;%由于没有非线性约束等式，所以这一项写 0

end

最后，在Command窗口输入如下代码

[x,fval] =fmincon(\'fun\',[0;0;0;0],[],[],[],[],[0;0;0;0],[],\'nonlinearcondition\')

即可得到最优解和最优值，最优值分别为

x =

   86.1883

  104.2879

  126.1883

  152.6879

fval = -43.0860

         目标函数最优值为z = -fval=43.0860.

由于线性问题也可以看做是非线性问题的特殊情况，所以可用求解非线性问题的方法求解线性规划问题.

例3，利用fmincon命令求解1.①中的线性规划问题

首先，编写目标函数的M函数文件，M函数文件如下，保存为fun.m.

function f =fun(x)

f = -5*x(1) - 4*x(2) - 6*x(3);

end

然后，编写线性和非线性约束不等式已经非线性约束等式的M函数文件，保存为nonlinearcondition.m，代码如下

function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)

%由于有3个线性约束，所以f返回一个三维向量

f(1) =x(1) - x(2) + x(3) - 20;

f(2) =3*x(1) + 2*x(2) + 4*x(3) - 42;

f(3) =3*x(1) + 2*x(2) - 30;

ceq = 0;%没有非线性等式

end

最后，在Command窗口输入如下代码

[x,fval] =fmincon(\'fun\',[0;0;0],[],[],[],[],[0;0;0],[],\'nonlinearcondition\')

得到的结果与1.线性规划问题的1.①中所用的线性方法所得结果相同.

②optimtool工具箱

同样，非线性规划也可以利用optimtool工具箱，因为其中有一项是填写非线性约束条件的，如下

利用工具箱求解在2.①中的一个问题

首先，编写目标函数的M函数文件，由于求得是最大值，所以先化为求最小值问题，再原目标函数前面添加负号即可，M函数文件如下，保存为fun.m.

function f =fun(x)

f = -(sqrt(x(1)) + sqrt(x(2)) + sqrt(x(3)) +sqrt(x(4)));

end

然后，编写线性和非线性约束不等式已经非线性约束等式的M函数文件，保存为nonlinearcondition.m，代码如下

function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)

%非线性和线性不等式有4个

f(1) =x(1) - 400;

f(2) =1.1*x(1) + x(2) - 440;

f(3) =1.21*x(1) + 1.1*x(2) + x(3) - 484;

f(4) =1.331*x(1) + 1.21*x(2) + 1.1*x(3) + x(4) - 532.4;

ceq = 0;%由于没有非线性约束等式，所以这一项写 0

end

在optimtool工具箱中输入相应参数，如下，即可得到相应结果

所得结果与利用fmincon命令所得结果相同.

小结

规划问题中还有特殊的一些问题，例如特殊的线性规划问题——0-1规划，特殊的非线性规问题——二次规划问题，而线性规划问题又是特殊的非线性规划问题，所以这几种规划问题都可以用【非线性规划问题】求解.

参考文献

[1] 卓金武, 魏永生, 秦健, 李必文. MATLAB在数学建模中的应用[M]. 北京: 北京航空航天大学 2011: 18-24 .