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本文简单介绍一种最基本的矩阵乘法的实现方法。
设有矩阵A(M×N)和矩阵B(N×K)，令C=A*B, 那么矩阵C(M×K)的元素为：
其中Cik是C的第i行第k列的元素;Aij是A的第i行第j列的元素；Bjk是B的第j行第k列的元素。
注意：如果A和B可乘，那么A的列数等于B的行数。
对于小数据量下的矩阵运算，可以直接在单机内存中根据上述公式直接计算得到。对于大数据下的矩阵运算，我们可以把上述公式搬到hadoop上来实现。
通常在Hadoop上通过MapReduce 实现矩阵运算需要两轮:第一步计算A和B对应的元素两两乘积(Aij * Bjk)；第二步，对所有的j, 将上一步得到的Aij*Bjk的乘积求和。具体说明如下：
- 第一轮
- Map: 将矩阵A，B的元素分别表示成键值对的形式，其中A的元素Aij表示为j => (A, i, Aij), B的元素Bjk表示为j => (B, k, Bjk)。
- Reduce: 对于每个键j, 将j对应的所有A中的元素和对应的所有B中的元素两两相乘(Aij*Bjk)，输出i,k => Aij * Bjk，其中i,k组合在一起作为输出的键值。
- 第二轮
- Map: 直接做cat操作(上一轮的i,k为key, 对应的乘积为value)
- Reduce: 将组合键i,k对应的所有value求和。输出i,k => sum即为结果矩阵的元素(第i行第k列)。
上述算法的时间负责度: 由于计算结果矩阵C的每个元素需要将矩阵A的整行和B的整列对应的元素相乘，其时间复杂度为O(N)，而C总共有M*K个，所以总的时间复杂度为O(M*K*N)，如果M=N=K，就是O(N3)。[注：目前最好的矩阵乘法时间负责度为O(N2.367)，其中strassen的方法是O(Nlog7)≈O(N2.8074)，他采用分治思想并将最后2×2小矩阵的计算时间从8次减少到7次]
上述两轮MapReduce的具体实现如下：
- 第一轮的hadoop streaming控制程序
#!/bin/bash
#矩阵乘法, MR第一轮计算
if [ $# -ne 0 ]
then
echo "Usage: $0"
exit 1
fi
INPUT_DIR=/data/fuqingchuan/matrix/A4x4.txt,/data/fuqingchuan/matrix/B4x3.txt
OUTPUT_DIR=/data/fuqingchuan/matrix/one/
STREAM_FILE="/home/hadoop/hadoop-2.3.0-cdh5.1.0/share/hadoop/tools/lib/hadoop-streaming-2.3.0-cdh5.1.0.jar"
${HADOOP_HOME}/bin/hadoop fs -rm -r ${OUTPUT_DIR}
${HADOOP_HOME}/bin/hadoop jar ${STREAM_FILE} \
-D mapreduce.job.name="matrix-one-fuqingchuan" \
-D mapreduce.job.reduces=100 \
-D mapreduce.job.priority=NORMAL \
-D mapreduce.job.map.capacity=100 \
-D mapreduce.job.reduce.capacity=100 \
-D mapreduce.job.reduce.slowstart.completedmaps=0.95 \
-D stream.num.map.output.key.fields=1 \
-D stream.memory.limit=1000 \
-D mapreduce.map.memory.mb=1000 \
-D mapreduce.reduce.memory.mb=1000 \
-D mapreduce.reduce.failures.maxpercent=1 \
-input ${INPUT_DIR} \
-output ${OUTPUT_DIR} \
-mapper "python mapper_one.py" \
-reducer "python reducer_one.py" \
-file ./mapper_one.py \
-file ./reducer_one.py
exit 0
- 第一轮的mapper(以j作为Key):
#!/usr/bin/python
#coding=utf8
#matrix multiplier : first round.
#input: two matrix, A(mxn), B(nxk)
#output: (j A i Aij) or (j B k Bjk)
import sys;
import logging as log;
if __name__ == "__main__":
for rawline in sys.stdin:
line = rawline.rstrip();
if len(line) <= 0:
continue;
fields = line.split(" ");
flen = len(fields);
if flen < 3:
log.warning("invalid input line:%s"%line.rstrip());
continue;
name = fields[0];
if name != "A" and name != "B":
log.warning("invalid matrix name:%s. It should be A|B.");
continue;
row = fields[1];
for idx in range(2, flen):
value = fields[idx];
if name == "A": # Aij => j A i Aij
i = row;
j = idx - 2;
print "%d\t%s\t%s\t%s"%(j, name, i, value);
else: # Bjk => j B k Bjk
j = row;
k = idx - 2;
print "%s\t%s\t%d\t%s"%(j, name, k, value);
sys.exit(0);
- 第一轮的reducer(计算乘积，并以i,k作为Key输出):
#!/usr/bin/python
#coding=utf8
#matrix multiplier : first round.
#input: a matrix[Aij -> ith row, jth col]
#output:
import sys;
import logging as log;
def output(listA, listB):
for Aij in listA:
for Bjk in listB:
A_i = Aij[0];
A_j = Aij[1];
A_v = Aij[2];
B_j = Bjk[0];
B_k = Bjk[1];
B_v = Bjk[2];
if A_j != B_j:
continue;
print "%d,%d\t%d"%(A_i, B_k, A_v * B_v);
if __name__ == "__main__":
listA = [];
listB = [];
last_j = None;
for rawline in sys.stdin:
line = rawline.rstrip();
if len(line) <= 0:
continue;
fields = line.split("\t");
flen = len(fields);
if flen != 4:
log.warning("invalid input line:%s"%line.rstrip());
continue;
j = int(fields[0]);
name = fields[1];
value = int(fields[3]);
if last_j == None or j == last_j:
pass;
else:
output(listA, listB);
listA = [];
listB = [];
if name == "A":
i = int(fields[2]);
listA.append((i, j, value));
else: #B
k = int(fields[2]);
listB.append((j, k, value));
last_j = j;
if last_j != None:
output(listA, listB);
sys.exit(0);
- 第二轮的hadoop streaming总控程序：
#!/bin/bash
#矩阵乘法, MR第二轮计算
if [ $# -ne 0 ]
then
echo "Usage: $0"
exit 1
fi
INPUT_DIR=/data/fuqingchuan/matrix/one/
OUTPUT_DIR=/data/fuqingchuan/matrix/two/
STREAM_FILE="/home/hadoop/hadoop-2.3.0-cdh5.1.0/share/hadoop/tools/lib/hadoop-streaming-2.3.0-cdh5.1.0.jar"
${HADOOP_HOME}/bin/hadoop fs -rm -r ${OUTPUT_DIR}
${HADOOP_HOME}/bin/hadoop jar ${STREAM_FILE} \
-D mapreduce.job.name="matrix-two-fuqingchuan" \
-D mapreduce.job.reduces=100 \
-D mapreduce.job.priority=NORMAL \
-D mapreduce.job.map.capacity=100 \
-D mapreduce.job.reduce.capacity=100 \
-D mapreduce.job.reduce.slowstart.completedmaps=0.95 \
-D stream.num.map.output.key.fields=1 \
-D stream.memory.limit=1000 \
-D mapreduce.map.memory.mb=1000 \
-D mapreduce.reduce.memory.mb=1000 \
-D mapreduce.reduce.failures.maxpercent=1 \
-input ${INPUT_DIR} \
-output ${OUTPUT_DIR} \
-mapper "cat" \
-reducer "python reducer_two.py" \
-file ./reducer_two.py
exit 0
- 第二轮mapper直接cat就可以了。
- 第二轮reducer(求和，以i,k作为Key输出):
#!/usr/bin/python
#coding=utf8
#matrix multiplier : first round.
#input: a matrix[Aij -> ith row, jth col]
#output:
import sys;
import logging as log;
def output(last_ik, sum):
print "%s\t%d"%(last_ik, sum);
if __name__ == "__main__":
last_ik = None;
sum = 0;
for rawline in sys.stdin:
line = rawline.rstrip();
if len(line) <= 0:
continue;
fields = line.split("\t");
flen = len(fields);
if flen != 2:
log.warning("invalid input line:%s"%line.rstrip());
continue;
ik = fields[0];
value = int(fields[1]);
if last_ik == None or ik == last_ik:
sum += value;
else:
output(last_ik, sum);
sum = value;
last_ik = ik;
if last_ik != None:
output(last_ik, sum);
sys.exit(0);
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