下面是章节优化的目录(参见全文目录)

• 数学描述
  
  • 梯度下降(Gradient descent)
  • 随机梯度下降 (SGD)
  • 分布式SGD的更新机制
  • 有限内存BFGS(Limited-memory BFGS (L-BFGS))
  • 优化方法的选择
• MLlib中的实现
  • 梯度下降和随机梯度下降
  • L-BFGS
• 开发者注意事项

数学描述

梯度下降

解决这类函数 minw∈Rdf(w) 优化问题的最简单方法是 梯度下降(gradient descent)。这样的一阶优化方法（包括梯度下降和随机梯度下降）非常适合大规模分布式计算。

梯度下降法旨在下降最快的方向进行迭代从而找到局部最小值。这个最快的方向是函数当前点的负导数（也叫梯度）。如果目标函数f对所有参数不可导，但具有凸函数性质，那么可以使用次梯度（次梯度是梯度的一种自然泛化）来扮演下降方向的角色。不管哪种情况，计算函数f的梯度或者次梯度开销都比较大——因为需要遍历整个数据集，从而计算所有损失项的贡献。

随机梯度下降 (SGD)

求和形式的目标函数f的优化问题特别适合使用随机梯度下降法（SGD）求解。通常在有监督机器学习中使用的优化公式：

这个公式看起来很自然，因为损失的计算方式是请求每个独立数据点损失的平均值。

随机次梯度是在向量上做一个随机选择，从而在期望上来看，我们获得了原始目标函数的真正次梯度。具体方法是：一致性随机抽样一个数据点i∈[1..n] ，我们可以通过下面式子获得目标函数（1）中的次梯度：

其中 L′w,i∈Rd是在第i个点处，损失函数的次梯度，也就是说，

另外，R′w 是正则化R(w)的次梯度，

并且，R′w 不依赖于随机选择的样本点。显然，在随机选择的点i∈[1..n]上，我们获得了f′w,i，它是原始目标函数f的次梯度，亦即：

有了梯度公式之后，SGD就可以简单地按负随机次梯度f′w,i的方向前进就可以了，即：

Step-size（步长）. 参数γ就是步长(Step-size)。在默认实现中，步长迭代次数平方根的增大而减小：γ = s / sqrt(t)，其中s是输入参数stepSize，t是表示的是第t次迭代。注意SGD最好步长的选择实际上比较微妙，是个热门研究课题。

Gradients（梯度）. MLlib中实现的机器学习方法的梯度列表可以在章节分类和回归[Classification and regression]看到。

Proximal Updates（近似更新）. 作为在前进方向上使用正则化梯度 R′(w) 的另一种选择，一种通过使用近似操作的改进更新方法可以应用于某些场景。对于L1正则化，近似操作是软阈值法（soft thresholding）[signum(w) * max(0.0, abs(w) – shrinkageVal) ]，这个在 L1Updater中实现，这种方法可以是产生的w具有更好的稀疏性。

分布式SGD的更新机制

GradientDescent中实现的SGD对样本数据使用了一种简单的分布式抽样。回想一下公式（1）的优化问题，其中的损失函数部分为：

在每一轮迭代中，RDD上的抽样以及对每个worker机器部分结果的求和计算都由标砖spark程序完成。

如果将miniBatchFraction置为1，那么每一轮迭代中都使用准确梯度下降。这种情况下，在前进方向上就没有了随机性和差异。另外一种极端情况下，如果minBatchFraction设置得太小，比如只有一个点被抽样出来，也就是|S|= miniBatchFraction×n=1，那么算法就变成了标准的SGD。这种情况下，前进方向取决于数据点的一致性随机抽样。

有限内存BFGS (L-BFGS)

L-BFGS 是拟牛顿法家族的一员，用来解决函数 minw∈Rdf(w) 的优化问题。L-BFGS算法对目标函数做局部近似，它不需要求目标函数第二部分的导数来构造Hession矩阵。Hessian矩阵通过上一步的梯度来估值，因而使用牛顿法计算Hession矩阵没有垂直扩展问题（训练特征的数量）。所以，L-BFGS比其他一阶优化方法收敛更快。

补充：

牛顿法收敛速度快，但是计算过程中需要计算目标函数的二阶偏导数，难度较大；目标函数的Hessian矩阵无法保持正定，从而令牛顿法失效。

为了解决这两个问题，人们提出了拟牛顿法，即“模拟”牛顿法的改进型算法。基本思想是不用二阶偏导数而构造出可以近似Hessian矩阵的逆的正定对称阵，从而在“拟牛顿”的条件下优化目标函数。Hessian阵的构造方法的不同决定了不同的拟牛顿法。

选择优化方法

线性方法 会在内部使用优化算法，MLlib中的部分线性方法支持SGD和L-BFGS。不同的优化方法会有不同的收敛速度保障，这依赖于目标函数的特点，这里不讨论这个问题。通常，如果L-BFGS是可用的，为了更快的收敛（更少的迭代），建议使用L-BFGS而不是SGD。

MLlib中的实现

梯度下降和随机梯度下降

梯度下降包括随机梯度下降（SGD）作为MLlib中的底层原语，各种ML算法都会用到，可以参考：线性方法 章节中的例子。

SGD类GradientDescent 有下列参数：

• Gradient 计算待优化函数随机梯度的类。也就是给定单个训练样本以及当前的参数值，计算随机梯度。MLlib包含了常用损失函数的梯度类，这些损失函数可以是：hinge, logistic, least-squares等。梯度类的输入是训练样本，样本标记以及当前的参数。
• Updater 实际执行梯度下降步骤的类。也就是给定损失部分的梯度，在每轮迭代中更新权值。Updater也负责正则化部分的更新。MLlib中的更新可以支持：不做正则化，L1正则化，L2正则化。
• stepSize 梯度下降的初始步长。Updater在第t步使用的步长是stepSize/sqrt(t)。
• numIterations 迭代次数。
• regParam 使用L1或L2时的正则化参数。
• miniBatchFraction 每轮迭代中抽取的用于梯度计算的数据比例。
  • 抽样也需要遍历整个RDD，所以减小miniBatchFraction不一定会大幅提升优化速度。如果梯度计算开销很大时，使用抽样的方法计算梯度会有可观的性能提升。

L-BFGS

L-BFGS当前只是MLlib中的底层优化原语。如果需要在不同的机器学习算法（例如线性回归、逻辑回归）使用L-BFGS，需要自己传入目标函数的梯度以及Updater，这个跟直接使用LogisticRegressionWithSGD的API不一样。下一个版本会发布L-BFGS比较完备的优化功能。

L1Updater使用的L1正则化当前在L-BFGS中不可用，因为L1Updater中的软阈值(soft-thresholding)是为梯度下降设计的。参见开发者注意事项。

L-BFGS方法LBFGS.runLBFGS有下列参数：

• Gradient 计算待优化函数随机梯度的类。也就是给定单个训练样本以及当前的参数值，计算随机梯度。MLlib包含了常用损失函数的梯度类，这些损失函数可以是：hinge, logistic, least-squares等。梯度类的输入是训练样本，样本标记以及当前的参数。
• Updater 为L-BFGS计算损失函数和正则化梯度的类。目前支持无正则化和L2正则化。
• numCorrections用在L-BFGS更新中的修正次数。推荐10。
• maxNumIterations 最大迭代次数。
• regParam 正则化参数。
• convergenceTol 收敛阈值。这个值必须是非负的。值越小越严格，通常会导致更多的迭代次数。在Breeze LBFGS中这个值涉及到平均提升和梯度范数。

该函数的返回值是二个元素的元组。第一个元素是包含每个特征权值的列矩阵，第二个元素是包含每次迭代损失的数组。

下面是用来训练二分逻辑会就的例子（Scala)，使用了L2正则化以及L-BFGS优化器。

import org.apache.spark.SparkContext
import org.apache.spark.mllib.evaluation.BinaryClassificationMetrics
import org.apache.spark.mllib.linalg.Vectors
import org.apache.spark.mllib.util.MLUtils
import org.apache.spark.mllib.classification.LogisticRegressionModel
import org.apache.spark.mllib.optimization.{LBFGS, LogisticGradient, SquaredL2Updater}

val data = MLUtils.loadLibSVMFile(sc, "data/mllib/sample_libsvm_data.txt")
val numFeatures = data.take(1)(0).features.size

// Split data into training (60%) and test (40%).
val splits = data.randomSplit(Array(0.6, 0.4), seed = 11L)

// Append 1 into the training data as intercept.
val training = splits(0).map(x => (x.label, MLUtils.appendBias(x.features))).cache()

val test = splits(1)

// Run training algorithm to build the model
val numCorrections = 10
val convergenceTol = 1e-4
val maxNumIterations = 20
val regParam = 0.1
val initialWeightsWithIntercept = Vectors.dense(new Array[Double](numFeatures + 1))

val (weightsWithIntercept, loss) = LBFGS.runLBFGS(
  training,
  new LogisticGradient(),
  new SquaredL2Updater(),
  numCorrections,
  convergenceTol,
  maxNumIterations,
  regParam,
  initialWeightsWithIntercept)

val model = new LogisticRegressionModel(
  Vectors.dense(weightsWithIntercept.toArray.slice(0, weightsWithIntercept.size - 1)),
  weightsWithIntercept(weightsWithIntercept.size - 1))

// Clear the default threshold.
model.clearThreshold()

// Compute raw scores on the test set.
val scoreAndLabels = test.map { point =>
  val score = model.predict(point.features)
  (score, point.label)
}

// Get evaluation metrics.
val metrics = new BinaryClassificationMetrics(scoreAndLabels)
val auROC = metrics.areaUnderROC()

println("Loss of each step in training process")
loss.foreach(println)
println("Area under ROC = " + auROC)

开发者注意事项

因为Hessian矩阵是通过对之前梯度的评估值来近似构建的，所以目标函数在优化过程中不能修改。也就是说，使用miniBatch的随机L-BFGS不能天然正常工作，因此，在有更好的解决方案之前我们不提供随机L-BFGS这个功能。

Updater原来只是是为梯度下降计算设计的类。然而，我们可以将损失函数和正则化的梯度计算用于L-BFGS，不过要忽略掉只针对梯度将下降部分的逻辑（例如：自适应步长功能）。We will refactorize this into regularizer to replace updater to separate the logic between regularization and step update later.

参考:

[1] http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f234d47010162f7.html