下面是章节降维的内容(其他内容参见全文目录)

• 奇异值分解 (SVD)
  • 性能
  • SVD示例
• 主成分分析 (PCA)

降维 是减少变量数量的过程。它可以用来从含有噪声的未加工特征中提取潜在特征，或者在维持原来结构的情况下压缩数据。MLlib提供了类RowMatrix 上的降维支持。

奇异值分解 (SVD)

奇异值分解(SVD)将一个矩阵分解为三个矩阵：U, Σ, 和V ，三个矩阵满足条件：

A = U Σ VT

• U是正交矩阵，该矩阵的列称为左奇异向量。
• Σ 是对角矩阵，对角线上的元素降序排列，对角线上的每个值称为奇异值。
• V是正交矩阵，该矩阵的列称为右奇异向量。

对于大型举证，我们通常不需要完全分解，而是求解最大的几个奇异值以及对应的奇异向量即可。这样做可以节省存储空间、降噪以及恢复矩阵的低秩结构。

补充：

1. 奇异值的另外一种定义：A*A的非负特征值得平方根，其中A*是A的共轭转置矩阵（当矩阵元素为实数，共轭转置矩阵就是转置矩阵）。

2.

如果我们保留top k 个奇异值，那么结果中的低秩矩阵的维度如下：

• U: m×k,
• Σ: k×k,
• V: n×k.

性能

假设n小于m。奇异值和右奇异向量来自Gramian矩阵(ATA)的特征值和特征向量。存储左奇异矩阵的向量是U，通过矩阵乘法U = A(VS-1)得到（指定ComputeU参数）。实际使用的方法基于计算开销自动选择。

• 如果n比较小(n < 100)或者k相对于n比较大(k > n/2)，我们先计算Grimian矩阵，然后在本地驱动程序中计算最大的特征值和特征向量。这需要一趟遍历，在执行器和驱动程序上的空间复杂度O(n2)，在驱动程序上的时间复杂度O(n2k)。
• 否则，我们分布式计算 (ATA)v 并交给ARPACK(大规模特征值计算程序包)去计算最大的特征值以及特征向量。这需要O(k)次遍历，执行器上O(n)的存储空间以及驱动程序上O(nk)存储空间。

SVD 示例(Scala)

MLlib针对行矩阵提供了SVD功能，提供支持的类是RowMatrix 。

import org.apache.spark.mllib.linalg.Matrix
import org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix
import org.apache.spark.mllib.linalg.SingularValueDecomposition

val mat: RowMatrix = ...

// Compute the top 20 singular values and corresponding singular vectors.
val svd: SingularValueDecomposition[RowMatrix, Matrix] = mat.computeSVD(20, computeU = true)
val U: RowMatrix = svd.U // The U factor is a RowMatrix.
val s: Vector = svd.s // The singular values are stored in a local dense vector.
val V: Matrix = svd.V // The V factor is a local dense matrix.

主成分分析 (PCA)

主成分分析 (PCA)是寻找坐标旋转的一种统计方法，该方法可以使得：样本点在第一个坐标上拥有最大的方差，后续坐标依次拥有次大的方差。其中用到的旋转矩阵的列称为主成分。PCA在降维中有广泛应用。

补充：

主成分分析的一般计算步骤：

1.  数据标准化：设样本数为m，每个样本特征维度为n, 在每个维度上计算均值u和方差δ²(。然后令归一化特征值:  x’ = (x – u)/δ

2. 求协方差矩阵（也有的地方计算相关系数矩阵）。

3. 求协方差矩阵的特征值和特征向量。

4. 将特征值从大到小排序，取最大的k个特征值，然后将对应的k个特征向量的作为列向量组成矩阵。k 值的确定参考当前累计特征值的和占特征值总和的比例，一般要求在85%以上。

5. 投影：将归一化之后的样本点投影到选取的特征向量上。ResultDataMatrix(m, k)  = NormalizedDataMatrix(m, n) * EigenVectorsMatix(n * k)

MLlib中使用行矩阵来支持PCA。

import org.apache.spark.mllib.linalg.Matrix

import org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.RowMatrix

val mat: RowMatrix = ...
// Compute the top 10 principal components.

val pc: Matrix = mat.computePrincipalComponents(10) // Principal components are stored in a local dense matrix.
// Project the rows to the linear space spanned by the top 10 principal components.

val projected: RowMatrix = mat.multiply(pc)

 

参考：

[1] http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/18/2020209.html

[2] http://baike.baidu.com/picture/45376/45376/0/e850352ac65c1038ef0358deb0119313b07e89a9.html?fr=lemma&ct=single#aid=0&pic=e850352ac65c1038ef0358deb0119313b07e89a9