这篇文章是参考：https://github.com/ceys/jdml/wiki/ALS 改写的，由于原文Latex公式没有正常展现+少量笔误，妨碍阅读，所以这里重新整理了一下。

ALS是alternating least squares的缩写 , 意为交替最小二乘法；而ALS-WR是alternating-least-squares with weighted-λ -regularization的缩写，意为加权正则化交替最小二乘法。该方法常用于基于矩阵分解的推荐系统中。例如：将用户(user)对商品(item)的评分矩阵分解为两个矩阵：一个是用户对商品隐含特征的偏好矩阵，另一个是商品所包含的隐含特征的矩阵。在这个矩阵分解的过程中，评分缺失项得到了填充，也就是说我们可以基于这个填充的评分来给用户最商品推荐了。

ALS

由于评分数据中有大量的缺失项，传统的矩阵分解SVD（奇异值分解）不方便处理这个问题，而ALS能够很好的解决这个问题。对于R(m×n)的矩阵，ALS旨在找到两个低维矩阵X(m×k)和矩阵Y(n×k)，来近似逼近R(m×n)，即：

其中R(m×n)代表用户对商品的评分矩阵，X(m×k)代表用户对隐含特征的偏好矩阵，Y(n×k)表示商品所包含隐含特征的矩阵，T表示矩阵Y的转置。实际中，一般取k<<min(m, n), 也就是相当于降维了。这里的低维矩阵，有的地方也叫低秩矩阵。

为了找到使低秩矩阵X和Y尽可能地逼近R，需要最小化下面的平方误差损失函数：

其中x_u(1×k)表示示用户u的偏好的隐含特征向量，y_i(1×k)表示商品i包含的隐含特征向量, r_ui表示用户u对商品i的评分, 向量x^u和y_i的内积x_u^Ty_i是用户u对商品i评分的近似。

损失函数一般需要加入正则化项来避免过拟合等问题，我们使用L2正则化，所以上面的公式改造为：

其中λ是正则化项的系数。

到这里，协同过滤就成功转化成了一个优化问题。由于变量xu和yi耦合到一起，这个问题并不好求解，所以我们引入了ALS，也就是说我们可以先固定Y（例如随机初始化X），然后利用公式（2）先求解X，然后固定X，再求解Y，如此交替往复直至收敛，即所谓的交替最小二乘法求解法。

具体求解方法说明如下：

• 先固定Y,  将损失函数L(X,Y)对x_u求偏导，并令导数=0，得到：

• 同理固定X，可得：

其中ru(1×n)是R的第u行,ri(1×m)是R的第i列， I是k×k的单位矩阵。

• 迭代步骤：首先随机初始化Y，利用公式(3)更新得到X,  然后利用公式(4)更新Y,  直到均方根误差变RMSE化很小或者到达最大迭代次数。

ALS-WR

上文提到的模型适用于解决有明确评分矩阵的应用场景，然而很多情况下，用户没有明确反馈对商品的偏好，也就是没有直接打分，我们只能通过用户的某些行为来推断他对商品的偏好。比如，在电视节目推荐的问题中，对电视节目收看的次数或者时长，这时我们可以推测次数越多，看得时间越长，用户的偏好程度越高，但是对于没有收看的节目，可能是由于用户不知道有该节目，或者没有途径获取该节目，我们不能确定的推测用户不喜欢该节目。ALS-WR通过置信度权重来解决这些问题：对于更确信用户偏好的项赋以较大的权重，对于没有反馈的项，赋以较小的权重。ALS-WR模型的形式化说明如下：

• ALS-WR的目标函数：

其中α是置信度系数。

• 求解方式还是最小二乘法：

其中C^u是n×n的对角矩阵，Ci是m×m的对角矩阵；C^u_ii  = c_ui,  Cⁱ_ii  = c_ii。

具体实现待补充。

本文参考：

[1] https://github.com/ceys/jdml/wiki/ALS

[2] http://mt.sohu.com/20150507/n412633357.shtml