练习：循环与函数

为了练习函数与循环，我们来实现一个平方根函数：用牛顿法实现平方根函数。

计算机通常使用循环来计算 x 的平方根。从某个猜测的值 z 开始，我们可以根据 z² 与 x 的近似度来调整 z，产生一个更好的猜测：

z -= (z*z - x) / (2*z)

重复调整的过程，猜测的结果会越来越精确，得到的答案也会尽可能接近实际的平方根。

在提供的 func Sqrt 中实现它。无论输入是什么，对 z 的一个恰当的猜测为 1。 要开始，请重复计算 10 次并随之打印每次的 z 值。观察对于不同的值 x（1、2、3 ...）， 你得到的答案是如何逼近结果的，猜测提升的速度有多快。

提示：用类型转换或浮点数语法来声明并初始化一个浮点数值：

z := 1.0
z := float64(1)

然后，修改循环条件，使得当值停止改变（或改变非常小）的时候退出循环。观察迭代次数大于还是小于 10。 尝试改变 z 的初始猜测，如 x 或 x/2。你的函数结果与标准库中的 math.Sqrt 接近吗？

（*注：* 如果你对该算法的细节感兴趣，上面的 z² − x 是 z² 到它所要到达的值（即 x）的距离， 除以的 2z 为 z² 的导数，我们通过 z² 的变化速度来改变 z 的调整量。 这种通用方法叫做牛顿法。 它对很多函数，特别是平方根而言非常有效。）

package main

import (
   "fmt"
   "math"
)

func sqrt(x float64) float64 {
   const eps = 0.0000001
   z := float64(1)
   last := float64(0)
   i := 0
   for math.Abs(last-z) > eps {
      last = z
      z -= (z*z - x) / (2 * x)
      i++
      fmt.Printf("迭代 %d %f - %f = %f \n", i, last, z, last-z)
   }
   return z
}


func main() {
   fmt.Println(sqrt(2))
}

迭代 1 1.000000 - 1.250000 = -0.250000
迭代 2 1.250000 - 1.359375 = -0.109375
迭代 3 1.359375 - 1.397400 = -0.038025
迭代 4 1.397400 - 1.409218 = -0.011818
迭代 5 1.409218 - 1.412744 = -0.003526
迭代 6 1.412744 - 1.413783 = -0.001038
迭代 7 1.413783 - 1.414087 = -0.000305
迭代 8 1.414087 - 1.414177 = -0.000089
迭代 9 1.414177 - 1.414203 = -0.000026
迭代 10 1.414203 - 1.414210 = -0.000008
迭代 11 1.414210 - 1.414213 = -0.000002
迭代 12 1.414213 - 1.414213 = -0.000001
迭代 13 1.414213 - 1.414213 = -0.000000
迭代 14 1.414213 - 1.414214 = -0.000000
1.4142135390239412

参考 https://www.zhihu.com/question/20690553