算法与数据结构(十) 二叉排序树的查找、插入与删除(Swift版)

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在上一篇博客中，我们主要介绍了四种查找的方法，包括顺序查找、折半查找、插入查找以及Fibonacci查找。上面这几种查找方式都是基于线性表的查找方式，今天博客中我们来介绍一下基于二叉树结构的查找，也就是我们今天要聊的二叉排序树。今天主要聊的是二叉排序树的查找、插入与删除的内容，二叉排序的创建过程其实就是不断查找与插入的过程，也就是说当我们在创建二叉排序树时，我们会先搜索该节点在二叉排序树中的位置，若没有找到该节点则返回该节点将要插入的父节点，然后将该结点插入。而二叉排序树结点的删除则有些复杂，分为几种情况讨论，下方会给出详细的介绍。

在本篇博客的开头，我们先聊聊什么是二叉排序树。说的直白一些，具有左子树上的值<根节点的值<右子树上的值的二叉树，我们称之为二叉排序树。基于二叉排序树的特点，有结合着中序遍历的特点（中序遍历是先遍历左子树，再遍历根节点，然后遍历右子树），我们不难发现，二叉排序树的中序遍历的结果是从小到大有序的。下方我们会先给出二叉排序树的创建，然后给出二叉排序树的节点删除的代码。废话少说，进入今天博客的主题。

一、二叉排序树的创建

上面也简单的提了一下，二叉排序树的创建无非就是不断查找和插入的过程，当我们查找某个值没有找到时，我们就会将该值插入到二叉排序树中。因为再查找的过程中可以确定该结点要插入的合适位置，所以插入就显得比较简单了。下方我们会先给出二叉排序树查找与插入的示意图，然后再给出相应的代码实现。最后给出中序遍历的结果，观察我们创建的二叉排序树的中序遍历是否是有序的。

1、二叉排序树的查找与插入的示意图

我们要将集合{62, 88, 58, 47, 35, 73, 51, 99, 37, 93}中的元素放入到我们的二叉排序树中去存储，如果对我们创建好的二叉排序树进行中序搜索的话，输出的结果就是上面集合的有序序列。下方就是我们二叉排序树从无到有的完整创建过程。

（1）、在初始化状态下我们二叉排序树的根节点为空，我们依次将集合中的元素通过搜索插入到二叉排序树中合适的位置。
（2）、首先在二叉排序中进行搜索62的位置，树为空，所以将62存入到二叉排序树的根节点中，及root=(62)。
（3）、从集合中取出88，然后查找我们的二叉排序树，发现88大于我们的根节点62，所以将88插入到62节点的右子树中，即(62)->rightChild=(88)。
（4）、从集合中取出58，然后从根节点开始查找我们现有的二叉排序树，发现55<62，将55作为62的左结点，即(62)->leftChild=(55)。
（5）、从集合中取出47，然后对二叉排序树进行搜索，发现47<55, 所以(55)->leftChild=(47)。
（6）、从集合中取出35，再次对二叉排序树进行搜索，发现35又小于47，所以(47)->leftChild=(35)。
（7）、从集合中取出73，再次对二叉排序树进行搜索，发现62<73<88, 所以有(88)->leftChild=(73)。
以此类推，要做的事情就是不断从集合中取值，然后对二叉排序树进行查找，找到合适的插入点，然后将相应的节点进行插入，具体步骤就不做过多赘述了。

2.二叉排序树创建的代码实现

接下来我们就来实现二叉排序树创建的代码实现的阶段了，二叉排序树创建分为几个步骤，第一步创建二叉树的结点，第二步二叉排序树的搜索，第三步则是结点的插入。接下来我们将要慢慢的来实现这几个过程。

(1)、二叉排序树的结点类

下方这段代码就是二叉排序树的结点类，该类的结构与之前我们聊二叉树时的结构没什么区别。因为二叉排序树的物理存储结构也是通过二叉链表的形式来组织的，所以下方的BinaryTreeNote中data字段用于存储结点数据，leftChild用来指向左孩子，rightChild用来指向右孩子。二叉树更详细的特性请参考之前发布的博客吧《二叉树的遍历及其线索化》，在此就不做过多赘述了。

(2)、查找二叉排序树代码实现

首先我们先创建一个类，也就是下方的SearchResult类，该类中存储的就是每次查找返回的结果。下方就是对每个结点的介绍：

searchNote字段存储的就是查找到的节点，如果未查找到，那么该结点就为空。
fatherNote字段就负责存储当前查到节点的父节点，如果该节点为空，那么当前查到的节点就为根节点。如果查找失败，那么我们的结点将要挂到fatherNote节点上。
isFound字段负责存储查找的结果，如果二叉排序树中有要查找的节点，那么该字段为true, 如果没有，该字段就为false。

实现完查找结果的存储类后，接下来我们就该实现我们的查找方法了。下方这个searchBST()方法就是我们二叉排序树的查找方法，该方法有三个参数，第一个参数currentRoot是当前二叉排序树的根节点，当然在每次递归遍历时该参数就是每轮递归时子树的根节点。第二个参数是fatherNote，也就是第一个参数currentRoot的父节点，如果currentRoot是整个二叉排序树的根节点的话，那么fatherNote就为空。而第三个参数就是我们要匹配的关键字key。该方法的返回值就是上面SearchResult的对象，该对象中存储的就是查找的相关结果。

下方代码主要分为下方几步：

首先创建存储查找结果的对象searchResult，以备下方查找时使用。
然后判断currentRoot是否为空，如果为nil说明没有找到key相应的结点。根据此结果设置searchResult的值，并返回searchResult。
紧接着在判断key是否等于currentRoot.data, 如果等于就说明我们找到了相应的结点，根据此结果设置searchResult的值，并返回searchResult对象。
如果没有查找失败，也没有查找成功，我们就比较key是否小于currentRoot.data，如果小于的话，说明我们的key有可能位于左子树上，然后递归查找左子树。
如果key大于currentRoot.data, 那么说明我们的key有可能位于右子树上，递归查找右子树。

(3)、二叉排序树节点的插入操作

二叉排序树的插入操作就显得比较简单了，因为再查找的返回结果中，如果查找失败，那么返回结果中也会有fatherNote。这个FatherNote就是我们将要插入节点的父节点。不过二叉排序树为空树时，查找结果的fatherNote为空，所以我们先判断fatherNote节点是否为空，如果为nil的话，我们就把当前关键字key对应的结点作为二叉排序树的根结点。如果fatherNote不为nil, 那么我们就判断key是否大于fatherNote.data, 如果大于的话，我们就把key作为fatherNote的右结点，否则作为fatherNote的左结点。具体代码如下所示。

(4)、二叉排序树的创建

上面我们实现了二叉排序树的搜索和插入的代码，上面我们不止一次的提到过，二叉排序树的创建就是不断查找和插入的过程。也就是先对要插入的结点key进行查找，如果二叉排序树上没有该key的话，就需要根据查找结果将key插入的二叉排序树中相应的位置上。下方代码就是二叉排序树的创建，就是先查找，如果没找到就插入，具体代码如下所示：

3、创建二叉排序树测试用例

下方就是我们创建二叉排序树的测试用例，会将searchTable数组中的线性元素转换成二叉排序树。BinarySearchTree的参数就是一个线性表，该类中的构造器会调用上面的createBinarySearchTree()的方法来构建二叉排序树。构建完二叉排序树后，对二叉排序树进行中序遍历，下方输出的就是中序遍历的结果，从结果中我们不难看出中序遍历的结果是从小到大有序的，由此可见我们的二叉排序树已正确创建了。如果你不放心，你可以将其先序遍历的结果也输出，进行检查。

二、二叉排序树结点的删除

二叉排序树的结点删除要比二叉排序树结点的插入要复杂一些，不过也并不难，要分为几种情况进行讨论。二叉排序树结点的插入与删除都是在查找的基础上来做的。下方我们就假设找到了我们要删除的结点，根据结点含有的左右结点的个数来进行分类讨论。下方会对这几种情况进行讨论。

1.删除结点的几种情况

(1)、删除结点为叶子结点

删除的结点没有左子树也没有右子树，也就是删除的结点为叶子结点。这种情况下我们有可以细分为两类，一种是该叶子结点就是二叉排序树的根节点，也就是二叉排序树中只有一个节点的情况。只需要将root指针置为空即可。再一种情况是有删除的叶子节点有父节点，直接将父节点连接该删除节点的指针置空即可。示意图如下所示：

(2)、删除的节点只有左子树的情况

该情况也可以细分为两类，一种是该删除的结点没有父节点，也就删除的节点为根节点，我们需要将根节点的root指针指向即将删除结点的左孩子，然后将删除结点的leftChild置空即可。

如果该结点有父节点，那么将父节点相应的孩子指针指向删除节点的左孩子，然后将删除节点的leftChild置空。示意图如下所示：

(3)、删除的节点只有右子树的情况

该情况也可以细分为两类，一种是该删除的结点没有父节点，也就删除的节点为根节点，我们需要将根节点的root指针指向即将删除结点的右孩子，然后将删除结点的rightChild置空即可。

如果该结点有父节点，那么将父节点相应的孩子指针指向删除节点的右孩子，然后将删除节点的rightChild置空。示意图如下所示：

(4)、删除的节点既有左子树也有右子树的情况

这种情况会稍微复杂一些，我们采用覆盖，再删除的方式进行解决。也就是曲线解决。直接将有左子树也有右子树的结点干掉似乎不是很好实现，因为这样会破坏二叉排序树的结果。我们可以间接的去做。可以分为下方的两步。

第一步：查找删除结点右子树中最小的那个值，也就是右子树中位于最左方的那个结点。然后将这个结点的值的父节点记录下来。并且将该节点的值赋给我们要删除的结点。也就是覆盖。
第二步：然后将右子树中最小的那个结点进行删除，该节点肯定符合上述三种情况的某一种情况，所以可以使用上述的方法进行删除。

这样一来我们就间接的删除了既有左子树也有右子树的结点。具体示意图如下所示

2.删除结点的代码实现

接下来我们要根据上述的示例图来实现我们的代码。上述将删除的结点分为了四类，其实仔细分析一下，上面的前三种删除结点的情况类似。于是乎我们在代码实现时将前三种删除结点的方法归为一类处理，也就是封装成一个函数来删除有一个或者没有子结点类型的结点。下方的deleteNoteHaveZeroOrOneChild()函数就是相应的方法。该函数有两个参数，第一个就是我们查找到要删除结点的查找结果对象，第二个参数就是该节点的子节点，如果该节点没有子节点的话，那么该参数就为nil。

在下方函数代码中，大体可以分为以下几步：

首先调用setNilForNote()方法将该将要删除的结点的子节点指针置空
然后判断此将要被删除的结点是否是二叉排序树的根节点，如果是的话，就使rootNote指针指向该结点的子结点。
如果要被删除的结点不为根节点的话，我们需要判断要删除结点的值是比其父节点的值是大还是小，如果是小的话，说明要删除的结点是其父节点的左孩子，然后就要把父节点的leftChild指针指向要删除结点的子节点。同理如果删除结点的值要比父节点的值要大，那么就需要将父节点的rightChild指针指向删除结点的子结点。