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c++最小生成树——Prim和Kruskal理解与分析

原作者: [db:作者] 来自: [db:来源] 收藏 邀请

最小生成树(MST:minimum-cost spanning tree)

也称最小支撑树，任何只由G的边构成,并包含G的所有顶点的树称为G的生成树(G连通).加权无向图G的生成树的代价是该生成树的所有边的代码(权)的和.最小代价生成树是其所有生成树中代价最小的生成树。

实现最小生成树的算法常用的是Prim,Kruskal学校数据结构的书上讲解了这两大算法的思路及用C++实现,但关于其合理性的证明却略过去了,这里主要加上我自己的一些总结，证明一下，最后写个模版用。

Prim

基本思想:

1.在图G=(V, E)（V表示顶点，E表示边）中，从集合V中任取一个顶点（例如取顶点v0）放入集合 U中，这时 U={v0}，集合T(E)为空。
2. 从v0出发寻找与U中顶点相邻（另一顶点在V中）权值最小的边的另一顶点v1，并使v1加入U。即U={v0,v1 }，同时将该边加入集合T(E)中。
3. 重复2，直到U=V为止。
这时T(E)中有n-1条边，T = (U, T(E))就是一棵最小生成树。

用书上的图来举例…懒得画直接拍了


关键是每一步选取的边起点是已加入集合U中的点,终点是未加入集合U中的点,在所有这样的点中选取权值最小的一条,把未加入U的点加入U,这一条边加入树T上.

对于这一贪心策略的证明:

首先,一定有一个最优解包含了权值最小的边e_0（prim的第一步）,因为如果不是这样，那么最优的解不包含e_0,把e_0加进去会形成一个环,任意去掉环里比e_0权值大的一条边,这样就构造了更优的一个解,矛盾.
用归纳法,假设prim的前k步选出来的边e_0,…, e_k-1是最优解的一部分,用类似的方法证明prim的方法选出的e_k一定也能构造出最优解。

C++实现:

朴素的邻接矩阵…

[cpp] view plaincopy
  1. int N,dis[MAX+10][MAX+10];//点的个数及每两个点之间的距离  
  2. int prim()  
  3. {  
  4.     int s=1;//源点,最开始为第一个  
  5.     int num=1;//已加入MST的点的个数,用于判断循环是否结束  
  6.     int sum_w=0;//MST的权值和  
  7.     int min_w;//每次加入MST的边的权值  
  8.     int flag;//与MST中点形成符合prim规则的不在MST中的点的序号  
  9.     int low_dis[MAX+5];//每个源点到其他味加入MST的点的最短距离  
  10.     bool uni[MAX+5];//标记点是否已经加入MST  
  11.     memset(uni,false;sizeof(uni));  
  12.     memset(low_dis;INF;sizeof(low_dis));  
  13.     uni[s]=true;  
  14.     while(1)  
  15.     {  
  16.         if(num==N) break;  
  17.         min_w=INF;  
  18.         for(int i=2;i<=N;i++)  
  19.         {  
  20.             if(!uni[i]&&dis[i][s]<low_dis[i])  
  21.                 low_dis[i]=dis[i][s];  
  22.             if(!uni[i]&&low_dis[i]<min_w)  
  23.             {  
  24.                 min_w=low_dis[i];  
  25.                 flag=i;  
  26.             }  
  27.         }  
  28.         s=flag;//更新源点  
  29.         u[s]=true;  
  30.         sum_w+=min_w;  
  31.         num++;  
  32.     }  
  33.     return sum_w;  
  34. }  
Nocow上的二叉堆优化(自己写的很挫,以后上)…

[cpp] view plaincopy
  1. #include <iostream>  
  2. using namespace std;  
  3. const int MAXV = 10001, MAXE = 100001, INF = (~0u)>>2;  
  4. struct edge{  
  5.     int t, w, next;  
  6. }es[MAXE * 2];  
  7. int h[MAXV], cnt, n, m, heap[MAXV], size, pos[MAXV], dist[MAXV];  
  8. void addedge(int x, int y, int z)  
  9. {  
  10.     es[++cnt].t = y;  
  11.     es[cnt].next = h[x];  
  12.     es[cnt].w = z;  
  13.     h[x] = cnt;  
  14. }  
  15. void heapup(int k)  
  16. {  
  17.     while(k > 1){  
  18.         if(dist[heap[k>>1]] > dist[heap[k]]){    
  19.             swap(pos[heap[k>>1]], pos[heap[k]]);  
  20.             swap(heap[k>>1], heap[k]);  
  21.             k>>=1;  
  22.         }else  
  23.             break;  
  24.     }  
  25. }  
  26. void heapdown(int k)  
  27. {  
  28.     while((k<<1) <= size){  
  29.         int j;  
  30.         if((k<<1) == size || dist[heap[(k<<1)]] < dist[heap[(k<<1)+1]])  
  31.             j = (k<<1);  
  32.         else  
  33.             j = (k<<1) + 1;  
  34.         if(dist[heap[k]] > dist[heap[j]]){  
  35.             swap(pos[heap[k]], pos[heap[j]]);  
  36.             swap(heap[k], heap[j]);  
  37.             k=j;  
  38.         }else  
  39.             break;  
  40.     }  
  41. }  
  42. void push(int v, int d)  
  43. {  
  44.     dist[v] = d;  
  45.     heap[++size] = v;  
  46.     pos[v] = size;  
  47.     heapup(size);  
  48. }  
  49. int pop()  
  50. {  
  51.     int ret = heap[1];  
  52.     swap(pos[heap[size]], pos[heap[1]]);  
  53.     swap(heap[size], heap[1]);  
  54.     size–;  
  55.     heapdown(1);  
  56.     return ret;  
  57. }  
  58. int prim()  
  59. {  
  60.     int mst = 0, i, p;  
  61.     push(1, 0);  
  62.     for(i=2; i<=n; i++)  
  63.         push(i, INF);  
  64.     for(i=1; i<=n; i++){  
  65.         int t = pop();  
  66.         mst += dist[t];  
  67.         pos[t] = -1;  
  68.         for(p = h[t]; p; p = es[p].next){  
  69.             int dst = es[p].t;  
  70.             if(pos[dst] != -1 && dist[dst] > es[p].w){  
  71.                 dist[dst] = es[p].w;  
  72.                 heapup(pos[dst]);  
  73.                 heapdown(pos[dst]);  
  74.             }  
  75.         }  
  76.     }  
  77.     return mst;  
  78. }  
  79. int main()  
  80. {  
  81.     cin>>n>>m;  
  82.     for(int i=1; i<=m; i++){  
  83.         int x, y, z;  
  84.         cin>>x>>y>>z;  
  85.         addedge(x, y, z);  
  86.         addedge(y, x, z);  
  87.     }  
  88.     cout<<prim()<<endl;  
  89.     return 0;  
  90. }  

算法分析:

使用邻接矩阵来保存图的话，时间复杂度是O(N^2)，观察代码很容易发现，时间主要浪费在每次都要遍历所有点找一个最小距离的顶点，对于这个操作，我们很容易想到用堆来优化，使得每次可以在log级别的时间找到距离最小的点。下面的代码是一个使用二叉堆实现的堆优化Prim算法，代码使用邻接表来保存图。另外，需要说明的是，为了松弛操作的方便， 堆里面保存的顶点的标号，而不是到顶点的距离，所以我们还需要维护一个映射pos[x]表示顶点x在堆里面的位置。
使用二叉堆优化Prim算法的时间复杂度为O((V + E) log(V)) = O(E log(V))，对于稀疏图相对于朴素算法的优化是巨大的，然而100行左右的二叉堆优化Prim相对于40行左右的并查集优化Kruskal，无论是在效率上，还是编程复杂度上并不具备多大的优势。另外，我们还可以用更高级的堆来进一步优化时间界，比如使用斐波那契堆优化后的时间界为O(E + V log(V))，但编程复杂度也会变得更高。

Kruskal

基本思想:

假设WN=(V,{E})是一个含有n个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有n棵树的一个森林。之后，从网的边集E中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。

同样用书上的图…


贪心策略的证明:

如果按Kruskal算法加入的边(u,v)在某一最优解T中不包含,那么T+(u,v)一定有且只有一个环,而且至少有一条边(u’.v’)的权值大于等于(u,v).删除该边后,得到新树T’=T+(u,v)-(u’,v’)不会比T差,所以按Kruskal算法加入的边是最优的.

C++实现:
…

鲜花
握手
雷人
路过
鸡蛋
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