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猴子第一天摘了许多个桃子,先吃了所有桃子的一半,后又吃了一个;第二天又吃了剩下桃子的一半,后又吃了一个……第十天,剩1个桃子。问:猴子第一天摘了多少个桃子? 首先对“猴子吃桃”的过程进行正向推导,设:猴子第一天摘了N个桃子,第n天剩Ln个桃子。则—— L1 = N/2 - 1 L2 = L1/2 - 1/2 - 1 L3 = L2/2 - 1/2^2 - 1 ...... Ln = L(n-1)/2 - 1; 然后对“猴子吐桃”的过程进行逆向推导,因为Ln = L(n-1)/2 - 1,所以L(n-1) = 2Ln + 2。即—— 从某一天剩余的桃子量我们可以逆推出上一天的桃子量。可以想象猴子把当天吃的桃子吐了出来(先吐出一个,再吐出目前桃子数2倍的桃子),就是上一天吃剩下的桃子量。 由于我们已经知道了第10天猴子吃完桃后剩余桃子数为1,这样就可以把“第10天”和“1个桃”作为两个参数传入一个“猴子吐桃”的函数中,让猴子把吃的桃儿都吐出来,一直吐到第1天,并返回第一天猴子摘的桃子数: using System; namespace MonkeyEatPeaches { class Program { static void Main(string[] args) { int left = 1; int days = 10; Console.WriteLine(MonkeyVomitPeaches(days, left)); Console.ReadKey(); } private static int MonkeyVomitPeaches(int days, int left) { if (days > 1) { left = (left + 1) * 2; days--; return MonkeyVomitPeaches(days, left); } else { return (left + 1) * 2; } } } } 结果得出: 答:第一天猴子摘了3070个桃子。 其实这个递归法就相当于一个for循环,所以时间复杂度为O(n)。 可以进一步研究一下递归算法的时间复杂度。 |
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