递推算法之一：倒推法

1、一般分析思路：

if 求解初始条件F1

then begin

{ 倒推 }

由题意(或递推关系)确定最终结果Fn;

求出倒推关系式Fi-1 ＝G(Fi );

i=n;

{ 从最终结果Fn出发进行倒推 }

while 当前结果Fi非初始值F1

do 由Fi-1＝G(Fi)倒推前项;

输出倒推结果F1和倒推过程;

end { of then } else

begin

{ 顺推 }

由题意(或递推关系)确定初始值F1(边界条件);

求出顺推关系式Fi＝G(Fi-1); i=1;

{ 由边界条件F1出发进行顺推 }

while 当前结果Fi非最终结果Fn

do

由Fi＝G(Fi-1)顺推后项;

输出顺推结果Fn和顺推过程;

end;

{ of else }

 
所谓倒推法，就是在不知初始值的情况下，经某种递推关系而获知问题的解或目标，再倒过来，推知它的初始条件。因为这类问题的运算过程是一一映射的，故可分析得其递推公式。然后再从这个解或目标出发，采用倒推手段，一步步地倒推到这个问题的初始陈述。

2，【例一】贮油点

一辆重型卡车欲穿过1000公里的沙漠，卡车耗油为1升/公里，卡车总载油能力为500公升。显然卡车装一次油是过不了沙漠的。因此司机必须设法在沿途建立几个贮油点，使卡车能顺利穿越沙漠，试问司机如何建立这些贮油点？每一贮油点应存多少汽油，才能使卡车以消耗最少汽油的代价通过沙漠？

算法分析:

编程计算及打印建立的贮油点序号，各贮油点距沙漠边沿出发的距离以及存油量。

No. distance(km) oil(litre)

1    　××             ××

2 　　×× 　　　　××

3 　　×× 　　　　××

… 　　……　　　　 ……

设dis[i]─第i个贮油点至终点(i=0)的距离; oil[i]─第i个贮油点的存贮油量; 我们可以用倒推法来解决这个问题。从终点向始点倒推，逐一求出每个贮油点的位置及存油量。

从贮油点i向贮油点i+1倒推的策略是,卡车在点i和点i+1间往返若干次。卡车每次返回i+1处时正好耗尽500公升汽油,而每次从i+1处出发时又必须装足500 公升汽油。两点之间的距离必须满足在耗油最少的条件下使i点贮足i*500公升汽油的要求(0≤i≤n-1)。具体地讲,嵉谝桓鲋 偷鉯=1应距终点i=0处500 km 且在该处贮藏500公升汽油， 这样才能保证卡车能由i=1处到达终点i=0处，这就是说 dis[1]=500 ol[1]=500;

为了在i=1处贮藏500公升汽油,卡车至少从i=2处开两趟满载油的车至i=1处。所以 i=2处至少贮有2*500公升汽油,即oil[2]=500*2=1000。另外，再加上从i=1返回至i=2处的一趟空载,合计往返3次。三次往返路程的耗油量按最省要求只能为500公升,即d12 =500/3km, dis[2]=dis[1]+d12 = dis[1]+500/3

为了在i=2处贮存1000公升汽油,卡车至少从i=3处开三趟满载油的车至i=2 处。所以i=3处至少贮有3*500公升汽油,即oil[3]=500*3=1500。加上i=2至i=3 处的二趟返程空车, 合计5次。路途耗油量亦应500公升,即d23 =500/5, dis[3]=dis[2]+d23 = dis[2]+500/5;

依次类推，为了在i=k处贮藏k*500公升汽油，卡车至少从i=k+1处开k趟满载车至i=k处，即oil[k+1]=(k+1)*500=oil[k]+500,加上从i=k返回i=k+1的k-1 趟返程空车,合计2k-1次。这2k-1次总耗油量按最省要求为500公升,即dk,k+1 = 500/(2k-1), dis[k+1] = dis[k]+dk,k+1 = dis[k]+500/(2k-1);

最后, i=n至始点的距离为1000-dis[n],oil[n]=500*n。为了在i=n处取得n*500公升汽油, 卡车至少从始点开n+1次满载车至i=n,加上从i=n返回始点的n 趟返程空车,合计2n+1次,2n+1 趟的总耗油量应正好为(1000-dis[n])*(2n+1), 即始点藏油为oil[n]+(1000-dis[n])*(2n+1)。

下面为程序题解:

program oil_lib;

var k: integer; {贮油点位置序号}

d, {累计终点至当前贮油点的距离} d1: real; {i=n至始点的距离}

oil, dis: array[1..10] of real;

i: integer; {辅助变量}

begin

writeln ('NO.',' distance(k.m)':30,'oil(l.)':80);

k:=1; d:=500;

{从i=1处开始向始点倒推}

dis[1]:=500;

oil[1]:=500;

repeat k:=k+1;

d:=d+500/(2*k-1);

dis[k]:=d;

oil[k]:=oil[k-1]+500;

until d>=1000;

dis[k]:=1000; {置始点至终点的距离值}

d1:=1000-dis[k-1]; {求i=n处至始点的距离}

oil[k]:=d1*(2*k+1)+oil[k-1]; {求始点藏油量}

for i:=0 to k do {由始点开始,逐一打印始点至当前贮油点的距离和藏油量}

writeln (i,1000-dis[k-i]:30,oil[k-i]:80);

end. {main}

代码实现：

/******************贮油点问题********************/
#include<stdio.h>

int main()
{
    int k=1;//贮油点的编号
    int dis[10],oil[10];//贮油点距离终点的距离以及存油量
    int d1;//d1记录离起点最近的贮油点距离,d:累计终点至当前贮油点的距离
    int i=0;
    printf("no.distance(km).oil(L)\n");
    dis[1]=500;//从k=1处开始向始点倒推
    oil[1]=500;
    do
    {
        k=k+1;
        dis[k]=dis[k-1]+500/(2*k-1);
        oil[k]=oil[k-1]+500;
    }while(!(dis[k]>=1000));
    dis[k]=1000;//置始点至终点的距离值
    d1=1000-dis[k-1];//求k=n处至始点的距离
    oil[k]=d1*(2*k+1)+oil[k-1];//求始点藏油量
    for(i=0;i<k;i++)//由始点开始逐一打印始点至当前贮油点的距离和藏油量
    {
        printf("%d\t%d\t%d\n",i,1000-dis[k-i],oil[k-i]);
    }
    return 0;
}