不使用运算符(+、-、*、/)来进行四则运算（C#）

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最近在LeetCode 上刷题，遇到一个非常有趣的题目，题目的大概意思就是在不使用运算符的情况下实现两个数的加法。。。原题点这里》》》

说实话，刚看到这题目，我是一脸懵逼的。

后来仔细想想，如果不能用运算符，那肯定是用原始方法了（位运算）。

后来，的确也证明我的想法是正确的。不过还是有种思路没想到，是参考了网上的。

在这里，我就来说说我所知道的两个方案。方法low，大牛可以点击右上角的×了。。。

注：以下讨论均基于整数之间的四则运算！部分来自网络~

【加法】

方案一（推荐）：

此方法参照计算机的二进制计算

分两步：

　　一：先进行没有进位的加法运算。可用 a^b;

　　二：处理进位信息。a&b 可得到进位的位置信息，然后左移一位，就是两数相加后的进位信息了。所以可以用 (a & b) << 1;

　　　　然后就是把前面得到的没有进位的和加上进位信息了，直到进位为0为止。因此代码可以这么写：

public static int GetSum(int a, int b)
        {
            if (b == 0)
            {
                return a;
            }

            int sum = a ^ b;
            int carry = (a & b) << 1;

            int result = GetSum(sum, carry);

            return result;
        }

方案二：

此方案在C#中不常使用。将利用指针的偏移来进行加法运算。

先上代码：

unsafe public static int GetSum_Point(int a, int b)
        {
            unsafe
            {
                byte* c = (byte*)a;
                int d = (int)&c[b];
                return d;
            }
        }

此处附上C#在VS2015中使用指针的方法（传送门）

例如a=5,b=10

c=(byte*) a,此时c的地址为0x00000005

c[b] 就是c的地址偏移sizeof(byte)*b

最终得到了c[b]的地址就是0x0000000f，即通过int强制转换得到15 。

【减法】

按理来说，只要加法解决了，后面的运算都是小菜一碟了。本着思考的态度，我们还是要想想怎么用位运算来实现减法。

总的来说还是有两个方案实现的，以下依次来说说。

方案一：

原理其实也是参考计算机计算减法的操作。

这里需要用到一个叫“补码”的东西，不懂的同学点这里》》》

我们都知道两个数的减法可以当作一个正数和一个负数的加法。照这个思路，我们可以这么写：

public static int GetMargin(int a, int b)
        {
            return GetSum(a, GetSum(~b, 1));
        }

方案二：

此方案和【加法】中的方案一类似。都是二进制的计算

我们分以下几步来看：（以a - b为例）

　　1.如果b 的值为0，那么结果显而易见就是a 了。

　　2.b 不为0 的情况下，我们仍然先不考虑借位，先将被减数和减数同为1 的位置去掉。

　　　　第一步，找出减数和被减数同为1 的位置。可使用 sameNum = a&b; 来实现；

　　　　第二步，分别将被减数和减数同为1 的位置去掉1 ，这里可以用 a ^= sameNum; b ^= sameNum;

　　3.此时，减数和被减数相同位只存在以下三种情况：

1. 被减数：0 ；减数： 0；差：0；
2. 被减数：0 ；减数： 1；差：1；
3. 被减数：1 ；减数： 0；差：1；

　　4.通过对被减数、减数和差的分析，很容易就能知道差值应该是被减数和减数的按位或的结果。于是我们便有：a | b 得到临时的结果;

　　5.此时再考虑借位问题。很明显只有在减数为1的情况下，被减数与之对应的左一位才会出现借位，于是借位便可以用 b << 1 ; 来表示。

　　6.再把临时结果减去借位，直到借位为0 ，得到的结果便是最终的结果了。综上，代码如下：

public static int GetMargin(int a, int b)
        {
            while (b != 0)
            {
                // 去掉被减数和减数中同为1的位
                int sameNum = a & b;
                a ^= sameNum;
                b ^= sameNum;
                
                // 此时，a 和 b 不存在同时为1 的位
                // 0 - 1 和 1 - 0 都为1
                a |= b; // 得到相减的临时结果（不考虑借位）
                b = b << 1; // 减数为1 时，必有借位
            }
            return a;
        }

【乘法】

1.先考虑正整数之间的乘法运算。

　　在二进制中，每向左移动一次，都相当于原始数乘以2。而每个数据都可以写成k₀×2⁰+k₁×2¹+...+k_m×2^m的形式。因此我们可以得到以下式子：

　　a x b = ax2⁰xk₀ + ax2¹xk₁+ .... +ax2^mxk_m其中k_i = {0, 1};

　　因此我们可以很容易写出以下代码：

public static int GetProduct(int a, int b)
        {
            // 1.先只考虑正整数的相乘

            int result = 0;
            for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1)
            {
                if ((bits & b) != 0)
                {
                    result = GetSum(result, a);
                }
                a <<= 1;
            }

            return result;
        }

2.接下来，开始考虑正负号的情况（考虑溢出的情况）。

　　这里有个简单的办法，直接判断a、b和0 的关系来判断正负。本着学习的态度（耳熟????），我们不使用这种方法。

　　我们都知道，在计算机中数据都是以补码的数据存储的，其中正数和负数的区别便是最高位是否为1；（负数的补码最高位为1）

　　于是，我们便可以引入一个辅助函数，来帮助判断。

public static int maxNumFlag()
        {
            int bitsOfByte = 8;

            int maxNum = 0x80;
            int tmp = maxNum;
            while (tmp != 0)
            {
                maxNum = tmp;
                tmp <<= bitsOfByte;
            }
            return maxNum;
        }

　　完善后的代码如下所示：

public static int GetProduct(int a, int b)
        {
            // 1.先只考虑正整数的相乘
            // 2.考虑正负情况和溢出问题

            int maxNum = maxNumFlag();
            int flag_a = 1;
            if ((maxNum & a) != 0)
            {
                flag_a = 0; // 负数
                a = GetSum(~a, 1);
            }

            int flag_b = 1;
            if ((maxNum & b) != 0)
            {
                flag_b = 0;
                b = GetSum(~b, 1);
            }

            int result = 0;
            for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1)
            {
                if ((bits & b) != 0)
                {
                    result = GetSum(result, a);
                    if ((result & maxNum) != 0
                        || (a & maxNum) != 0)
                    {
                        throw new Exception("数据过大！");
                    }
                }
                a <<= 1;
            }

            return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? result : GetSum(~result, 1);
        }

【除法】

看到除法，就想起了减法运算，然后想到一个比较简单的思路和实现方法。后来发现网上还有一种方法，思路相同又不同。贴上来，大家看看~

方案一：

　　除法没有溢出，但是有其他的限定条件，比如除数不能为“0”。

　　这里先说下除法和减法之间的关系。以97÷23=4（余5）为例：

　　也就是 97-23×4=5
　　　　：=》97-23-23-23-23=5.

　　于是，有以下代码：

public static int GetQuotient(int a, int b)
        {
            /*方法一*/
            if (b == 0)
            {
                throw new Exception("除数不能为0！！");
            }

            int maxNum = maxNumFlag();
            int flag_a = 1;
            if ((maxNum & a) != 0)
            {
                flag_a = 0; // 负数
                a = GetSum(~a, 1);
            }

            int flag_b = 1;
            if ((maxNum & b) != 0)
            {
                flag_b = 0;
                b = GetSum(~b, 1);
            }

            int index = 1;
            int tmp = GetMargin(a, b);
            if (tmp < 0)
            {
                return 0;
            }

            while (tmp >= b)
            {
                tmp = GetMargin(tmp, b); // 最后一次循环后的tmp 便是a/b 的余数
                index = GetSum(index, 1);
            }
            return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? index : GetSum(~index, 1);
        }

方案二：

　　方案二的大体思路如下：

预备工作：置商为0；
判断“被除数>=除数 ”是否成立：
成立，继续步骤3；
不成立，被除数的值赋给余数，计算结束。
备份除数，并设置商分子（一个临时变量，最终需加到商上面，故暂且如此命名）为1；
对商分子和除数同步向左移位，直到继续移位将大于被除数时为止；
从被除数上减去除数，并将商加上商分子。
通过备份的除数值还原除数，跳转到步骤2继续执行。

　　个人还是觉得这样比较难理解，但是因为我们这讨论的是位运算，所以还是贴出来，研究研究。

　直接上代码：

public static int GetQuotient(int a, int b)
        {
            /*方法二*/
            if (b == 0)
            {
                throw new Exception("除数不能为0！！");
            }

            int maxNum = maxNumFlag();
            int flag_a = 1;
            if ((maxNum & a) != 0)
            {
                flag_a = 0; // 负数
                a = GetSum(~a, 1);
            }

            int flag_b = 1;
            if ((maxNum & b) != 0)
            {
                flag_b = 0;
                b = GetSum(~b, 1);
            }

            int quotient = 0;
            int backupB = b;
            while (a >= b)
            {
                int tempB = b << 1;
                int tempQ = 1;
                while ((tempB <= a) && ((tempB & maxNumFlag()) == 0))
                {
                    b = tempB;
                    tempQ <<= 1;
                    tempB <<= 1;
                }

                a = GetMargin(a, b);
                quotient |= tempQ;
                b = backupB;
            }

            if (((maxNum & a) != 0) && (a != 0))
            {
                quotient = GetSum(quotient, 1);
            }

            return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? quotient : GetSum(~quotient, 1);
        }