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C语言程序设计100例之(12):Eratosthenes筛法求质数 - aTeacher

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C语言程序设计100例之(12):Eratosthenes筛法求质数

例12   Eratosthenes筛法求质数

问题描述

Eratosthenes筛法的基本思想是:把某范围内的自然数从小到大依次排列好。宣布1不是质数,把它去掉;然后从余下的数中取出最小的数,宣布它为质数,并去掉它的倍数。在第1步之后,得到质数2,筛中只包含奇数;第2步之后,得到质数3,一直做下去,当筛中为空时结束。

用Eratosthenes筛法求给定区间内的所有质数。

输入格式

两个整数a和b,其中1≤a≤b≤10000

输出格式

输出给定范围[a,b]间的所有质数,输出时每个质数占6列,每行输出10个质数。

输入样例

100  200

输出样例

101  103  107  109  113  127  131  137  139  149 

151  157  163  167  173  179  181  191  193  197

199

        (1)编程思路。

        下面采用自顶向下逐步求精的方法解决这个问题。

1)先写出程序的总体框架

初始化,将所有的数都放在筛子中;

k=2;

while(k<=N)

{

     用k将筛子中的数2*k、3*k、4*k …,一一筛去;

      从当前下标k的下一个开始找到下一个仍在筛子中的数,并赋值给k;

}

从2开始,将所有留在筛子中的数(即为质数)打印出来;

2)筛子的构造

为了表示一个筛子,并将给定范围N以内的数放入筛子中,可以定义一个一维数组

int  prime[N+1];

其中,元素prime[i]==1表示整数i在筛子中;prime[i]==0表示整数i不在筛子中。

因此,初始化数组prime使所有的数都在筛子中,即使prime[2]~ prime[N]的值全部等于1。程序描述为:

     for (k=2; k<=N;k++)

              prime[k]=1;

3)用k将筛子中的数2*k、3*k、4*k …,一一筛去

n=2;

while(n*k<N)

{

    prime[n*k]=0;

    n++;

 }

4)从当前下标k的下一个开始找到下一个仍在筛子中的数,并赋值给k

k++;

while(prime[k]==0)

     k++;

5)从a开始到b为止,将仍然在筛子中的数打印出来

for (k=a; k<=b; k++)

{

     if(prime[k])  printf(“%d  “,k);

}

(2)源程序。

#include <stdio.h>

#define N 100000

int main()

{

         int prime[N+1]={0,0},t,k,cnt,a,b;

         for (k=2; k<=N;k++)

                   prime[k]=1;

         k=2;

         while(k<=N)

         {

                   t=2;

                   while(t*k<=N)

                   {

                            prime[t*k]=0;

                            t++;

                   }

                   k++;

                   while(k<=N  && prime[k]==0)

                            k++;

         }

         scanf("%d%d",&a,&b);

         cnt=0;

         for (k=a;k<=b;k++)

        {

            if (prime[k]==1)

           {

                 cnt++;

                printf("%6d",k);

                 if (cnt%10==0)  printf("\n");

          }

     }

    printf("\n");

    return 0;

}

习题12

12-1  质因子分解

        本题选自洛谷题库 (https://www.luogu.org/problem/P2043)

题目描述

对N!进行质因子分解。

输入格式

输入数据仅有一行包含一个正整数N,N<=10000。

输出格式

输出数据包含若干行,每行两个正整数p,a,中间用一个空格隔开。表示N!包含a个质因子p,要求按p的值从小到大输出。

输入样例

10

输出样例

2 8

3 4

5 2

7 1

说明/提示

10!=3628800=(2^8)*(3^4)*(5^2)*7

 (1)编程思路。

先看如何求n!中质因子k的个数。以求10!质因子2的个数为例说明。

设先将1~10共10个数排成一行得到序列1。且设保存2的因子个数的变量cnt的初值为0。

    序列1:     1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

在序列1中,只有2、4、…、10 共 10/2=5个数中至少含有一个2的因子。故cnt=cnt+n/2=0+5=5。

    将序列1中的每个数除以2,只保留得到的整数,可排成序列2。(对应操作为n=n/2)

    序列2:                 1  2  3  4   5

  对应序列1的数为:2  4  6   8  10

    在序列2中,有5个数,只有5/2=2个数含有因子2,即原序列中有2个数(4,8)至少含有两个因子2。  cnt=cnt+n/2=5+5/2=7。

    再将序列2中的每个数除以2,只保留得到的整数,可排成序列3。(对应操作为n=n/2)

    序列3                  1   2    

对应序列1的数为:4   8

在序列3中,有2个数,只有2/2=1个数含有因子2,即原序列中有1个数(8)至少含有三个因子2。  cnt=cnt+n/2=7+2/2=8。

    再将序列3中的每个数除以2,只保留得到的整数,可排成序列4。(对应操作为n=n/2)

    此时,序列4中不再有数能被2整除,即原序列中没有数含有4个2的因子。

       cnt=cnt+n/2=8+1/5=8。  

    至此,求得10!含有质因子2的个数为8。

按上述过程,将求n!中质因子k的个数写成一个简单的循环即可。

        cnt=0;

        while (n!=0)

        {

            cnt+=n/k;

            n/=k;

        }

定义数组int prime[1250]保存所有小于10000的质数,如prime[0]=2,prime[1]=3, prime[2]=5,…。用筛法求出各质数并保存在prime数组中。

定义数组int num[1250],其中num[i]保存n!中质因子prime[i]的个数,num数组的全部元素的初始值置为0。

程序中按前面介绍的求n!中质因子k的个数的方法,用循环依次求取小于或等于n的质数prime[i]的个数num[i]。

 (2)源程序。

#include <stdio.h>

#define N 10000

int main()

{

    int t,k,i,n,cnt;

         int flag[N+1]={0,0};

         int prime[1250],num[1250]={0};

         for (k=2; k<=N;k++)

                   flag[k]=1;

         k=2; cnt=0;

         while(k<=N)

         {

                   t=2;  prime[cnt++]=k;

                   while(t*k<=N)

                   {

                            flag[t*k]=0;

                            t++;

                   }

                  k++;

                 while(k<=N && flag[k]==0)

                       k++;

         }

         scanf("%d",&n);

         for (i=0;i<cnt;i++)

        {

              if (prime[i]>n) break;

              t=n;

             while (t!=0)

            {

                  num[i]+=t/prime[i];

                  t/=prime[i];

           }

    }

    for (k=0;k<i;k++)

       printf("%d %d\n",prime[k],num[k]);

   return 0;

}

12-2  Prime Gap

        本题选自北大POJ题库 (http://poj.org/problem?id=3518)

Description

The sequence of n − 1 consecutive composite numbers (positive integers that are not prime and not equal to 1) lying between two successive prime numbers p and p + n is called a prime gap of length n. For example, ‹24, 25, 26, 27, 28› between 23 and 29 is a prime gap of length 6.

Your mission is to write a program to calculate, for a given positive integer k, the length of the prime gap that contains k. For convenience, the length is considered 0 in case no prime gap contains k.

Input

The input is a sequence of lines each of which contains a single positive integer. Each positive integer is greater than 1 and less than or equal to the 100000th prime number, which is 1299709. The end of the input is indicated by a line containing a single zero.

Output

The output should be composed of lines each of which contains a single non-negative integer. It is the length of the prime gap that contains the corresponding positive integer in the input if it is a composite number, or 0 otherwise. No other characters should occur in the output.

Sample Input

10

11

27

2

492170

0

Sample Output

4

0

6

0

114

        (1)编程思路。

        题目的意思是:两个连续质数a和b之间的区间称为非质数区间。求n所在非质数区间的长度。例如,23和29是两个连续的质数,23和29之间的区间就是一个非质数区间,这个区间的长度为6,整数27在这个区间中,因此27所在非质数区间的长度为6。

        定义数组int prime[maxn],元素prime[i]的值为0表示整数i是质数(在筛子中,没有被筛掉),prime[i]的值为1表示整数i是不是质数(不在筛子中,已经被筛掉了)。

        初始时prime的数组元素初值全为0,表示给定范围的每个整数都在筛子中。用筛法将所有的非质数全筛掉。

        为求取n所在非质数区间的长度。若n本身是一个质数,则其所在非质数区间的长度记为0。

         若n不是一个质数,可用循环 for (left=n-1; prime[left]==1;  left--);求得比n小的最大质数left;用循环for (right=n+1;prime[right]==1; right++);求得比n大的最小质数right。则n一定在连续质数left和right之间的非质数区间,区间长度为right-left。

        (2)源程序。

#include <stdio.h>

#define maxn 1399710

int prime[maxn]={0};

int main()

{

    int i,j,n,left,right;   

    for(i=2;i<maxn;i++)

    {

        if(prime[i]==0)

        {

            for (j=i*2;j<maxn;j+=i)

              prime[j]=1;

        }

    }

    while (scanf("%d",&n) && n!=0)

    {

        if(prime[n]==0)

        {

            printf("0\n");

            continue;

        }

        else

        {

              for (left=n-1; prime[left]==1;  left--);

              for (right=n+1;prime[right]==1; right++);

              printf("%d\n",right-left);

          }

    }

    return 0;

}

12-3  Largest prime factor

        本题选自杭州电子科技大学OJ题库 (http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2136)

Problem Description

Everybody knows any number can be combined by the prime number.

Now, your task is telling me what position of the largest prime factor.

The position of prime 2 is 1, prime 3 is 2, and prime 5 is 3, etc.

Specially, LPF(1) = 0.

Input

Each line will contain one integer n(0 < n < 1000000).

Output

Output the LPF(n).

Sample Input

1

2

3

4

5

Sample Output

0

1

2

1

3

        (1)编程思路。

本题题意是:求一个整数n的最大质因子在质数表中排第几。比如,9的最大质因子是3,3在质数表中排第2;5的最大质因子为5,在质数表中排第3。

定义数组int rank[N],元素prime[i]的值表示整数i的最大质因子在质数表中排第几。

初始时rank的数组元素初值全为0,表示尚未确定每个数的最大质因子的排位值。同时,借助筛法的思想。rank的数组元素初值全为0,表示给定范围(1~N)的每个整数都在筛子中。

在前面介绍的筛法中,我们只是简单置数组元素值为0或为1,表示在或不在筛子中,本题中rank数组元素值除了表示在或不在筛子中的含义外,非0的元素值还表示最大质因子在质数表中的排位值。为此,修改的筛法执行过程描述如下:

1)初始时,令i=2,cnt=1,表示最小的质数为2,其排位值为1。

2)2<=N,rank[2]=0,cnt=1表示2是排位为1的质数。同时修改rank[2]、rank[4]、rank[6]、rank[8]、rank[10]……等元素的值为1(当前cnt=1),这个修改既表示将2的倍数的数从筛子中筛掉,同时表示这些2的倍数的数当前确定的最大质因子的排位号为1。 cnt++表示下一个质数的排位值为2。

3)i++,i=3,此时rank[3]=0表示3在筛子中,3是质数,cnt=2,表示3是排位值为2的质数。同时修改rank[3]、rank[6]、rank[9]、rank[12]、rank[15]……等元素的值为2(当前cnt=2),这个修改既表示将3的倍数的数从筛子中筛掉,同时表示这些3的倍数的数当前能确定的最大质因子的排位号为2。 cnt++表示下一个质数的排位值为3。

4)i++,i=4,rank[4]=1不为0,表示4不在筛子中,4不是质数,能确定它的最大质因子的排位值为1。不处理,直接跳过。

5)i++,i=5,此时rank[5]=0表示5在筛子中,5是质数,cnt=3,表示5是排位值为3的质数。同时修改rank[5]、rank[10]、rank[15]、rank[20]、rank[25]……等元素的值为3(当前cnt=3),这个修改既表示将5的倍数的数从筛子中筛掉,同时表示这些5的倍数的数当前能确定的最大质因子的排位号为3。 cnt++表示下一个质数的排位值为4。

……

重复上面的过程,直到i>N。此时1~N范围内所有整数的最大质因子在质数表中的排位值都确定了,且保存在数组rank的相应元素中。

(2)源程序。

#include <stdio.h>

#define N 1000000

int rank[N+1]={0};

int main()

{

    int i,j,n,cnt=1;

    for (i=2;i<=N;i++)

    {

        if(rank[i]!=0) continue;

        for (j=i;j<=N;j+=i)

           rank[j]=cnt;

        cnt++;

    }

    while (scanf("%d",&n)!=EOF)

         printf("%d\n",rank[n]);

    return 0;

}


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