原文链接：http://tecdat.cn/?p=19688 

在引入copula时，大家普遍认为copula很有趣，因为它们允许分别对边缘分布和相依结构进行建模。

copula建模边缘和相依关系

给定一些边缘分布函数和一个copula，那么我们可以生成一个多元分布函数，其中的边缘是前面指定的。

考虑一个二元对数正态分布

1.  
    
2.  
   > library(mnormt)
3.  
   > set.seed(1)
4.  
   > Z=exp(rmnorm(25,MU,SIGMA))

我们可以从边缘分布开始。

1.  
    
2.  
   meanlog sdlog
3.  
   1.168 0.930
4.  
   (0.186 ) (0.131 )
5.  
    
6.  
   meanlog sdlog
7.  
   2.218 1.168
8.  
   (0.233 ) (0.165 )

基于这些边缘分布，并考虑从该伪随机样本获得的copula参数的最大似然估计值，从数值上讲，我们得到

1.  
    
2.  
   > library(copula)
3.  
    
4.  
   > Copula() estimation based on \'maximum likelihood\'
5.  
   and a sample of size 25.
6.  
   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
7.  
   rho.1 0.86530 0.03799 22.77

但是，由于相依关系是边缘分布的函数，因此我们没有对相依关系进行单独处理。如果考虑全局优化问题，则结果会有所不同。可以得出密度

1.  
    
2.  
   > optim(par=c(0,0,1,1,0),fn=LogLik)$par
3.  
   [1] 1.165 2.215 0.923 1.161 0.864

差别不大，但估计量并不相同。从统计的角度来看，我们几乎无法分别处理边缘和相依结构。我们应该记住的另一点是，边际分布可能会错误指定。例如，如果我们假设指数分布，

1.  
    
2.  
   fitdistr(Z[,1],"exponential")
3.  
   rate
4.  
   0.222
5.  
   (0.044 )
6.  
   fitdistr(Z[,2],"exponential"
7.  
   rate
8.  
   0.065
9.  
   (0.013 )

高斯copula的参数估计

1.  
    
2.  
   Copula() estimation based on \'maximum likelihood\'
3.  
   and a sample of size 25.
4.  
   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
5.  
   rho.1 0.87421 0.03617 24.17 <2e-16 ***
6.  
   ---
7.  
   Signif. codes: 0 \'***\' 0.001 \'**\' 0.01 \'*\' 0.05 \'.\' 0.1 \' \' 1
8.  
   The maximized loglikelihood is 15.4
9.  
   Optimization converged

由于我们错误地指定了边缘分布，因此我们无法获得统一的边缘。如果我们使用上述代码生成大小为500的样本，

1.  
    
2.  
   barplot(counts, axes=FALSE,col="light blue"

如果边缘分布被很好地设定时，我们可以清楚地看到相依结构依赖于边缘分布，

copula模拟股市中相关随机游走

接下来我们用copula函数模拟股市中的相关随机游走

1.  
   #*****************************************************************
2.  
   # 载入历史数据
3.  
   #******************************************************************
4.  
    
5.  
   load.packages(\'quantmod\')
6.  
    
7.  
   data$YHOO = getSymbol.intraday.google(\'YHOO\', \'NASDAQ\', 60, \'15d\')
8.  
   data$FB = getSymbol.intraday.google(\'FB\', \'NASDAQ\', 60, \'15d\')
9.  
   bt.prep(data, align=\'remove.na\')
10.  
     
11.  
     
12.  
    #*****************************************************************
13.  
    # 生成模拟
14.  
    #******************************************************************
15.  
     
16.  
    rets = diff(log(prices))
17.  
     
18.  
    # 绘制价格
19.  
    matplot(exp(apply(rets,2,cumsum)), type=\'l\')

1.  
   # 可视化分布的辅助函数
2.  
    
3.  
   # 检查Copula拟合的Helper函数
4.  
   # 模拟图与实际图
5.  
    
6.  
   plot(rets[,1], rets[,2], xlab=labs[1], ylab=labs[2], col=\'blue\', las=1)
7.  
   points(fit.sim[,1], fit.sim[,2], col=\'red\')
8.  
    
9.  
   # 比较模拟和实际的统计数据
10.  
    temp = matrix(0,nr=5,nc=2)
11.  
     
12.  
    print(round(100*temp,2))
13.  
     
14.  
    # 检查收益率是否来自相同的分布
15.  
    for (i in 1:2) {
16.  
    print(labs[i])
17.  
    print(ks.test(rets[,i], fit.sim[i]))
18.  
     
19.  
     
20.  
    # 绘制模拟价格路径
21.  
    matplot(exp(apply(fit.sim,2,cumsum)), type=\'l\', main=\'Simulated Price path\')
22.  
     
23.  
     
24.  
    # 拟合Copula
25.  
    load.packages(\'copula\')

1.  
    
2.  
   # 通过组合拟合边缘和拟合copula创建自定义分布
3.  
   margins=c("norm","norm")
4.  
   apply(rets,2,function(x) list(mean=mean(x), sd=sd(x)))
5.  
    
6.  
    
7.  
   # 从拟合分布模拟
8.  
   rMvdc(4800, fit)
9.  
    

1.  
   Actual Simulated
2.  
   Correlation 57.13 57.38
3.  
   Mean FB -0.31 -0.47
4.  
   Mean YHOO -0.40 -0.17
5.  
   StDev FB 1.24 1.25
6.  
   StDev YHOO 1.23 1.23

FB

1.  
   Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
2.  
    
3.  
   data: rets[, i] and fit.sim[i]
4.  
   D = 0.9404, p-value = 0.3395
5.  
   alternative hypothesis: two-sided
6.  
    

HO

1.  
   Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
2.  
    
3.  
   data: rets[, i] and fit.sim[i]
4.  
   D = 0.8792, p-value = 0.4222
5.  
   alternative hypothesis: two-sided
6.  
    

 visualize.rets(fit.sim)

1.  
   # qnorm(runif(10^8)) 和 rnorm(10^8) 是等价的
2.  
   uniform.sim = rCopula(4800, gumbelCopula(gumbel@estimate, dim=n))
3.  
    

1.  
   Actual Simulated
2.  
   Correlation 57.13 57.14
3.  
   Mean FB -0.31 -0.22
4.  
   Mean YHOO -0.40 -0.56
5.  
   StDev FB 1.24 1.24
6.  
   StDev YHOO 1.23 1.21

FB

1.  
   Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
2.  
    
3.  
   data: rets[, i] and fit.sim[i]
4.  
   D = 0.7791, p-value = 0.5787
5.  
   alternative hypothesis: two-sided
6.  
    

HO

1.  
   Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
2.  
    
3.  
   data: rets[, i] and fit.sim[i]
4.  
   D = 0.795, p-value = 0.5525
5.  
   alternative hypothesis: two-sided
6.  
    

	vis(rets)

标准偏差相对于均值而言非常大，接近于零；因此，在某些情况下，我们很有可能获得不稳定的结果。

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