y,X1,X2,X3 分别表示第 t 年各项税收收入(亿元)，某国生产总值GDP(亿元)，财政支出(亿元)和商品零售价格指数(%).
(1) 建立线性模型：
① 自己编写函数：
> library(openxlsx)
> data = read.xlsx("22_data.xlsx",sheet = 1)
> x = data[,-c(1,2)]
> x = cbind(rep(1,17),x)
> x_mat = as.matrix(x)
> y =matrix(data[,2],ncol = 1)
> res = solve(t(x_mat)%*%x_mat)%*%t(x_mat)%*%y
> res
[,1]
rep(1, 17) 19412.8597818
X1 0.2679605
X2 -0.2874013
X3 -297.3653736
所以各参数的估计值分别为
② lm函数
> lm(y~x_mat)
Call:
lm(formula = y ~ x_mat)
Coefficients:
(Intercept) x_matrep(1, 17) x_matX1
19412.859781545 NA 0.267960511
x_matX2 x_matX3
-0.287401287 -297.365373557
于是各参数的估计值分别为
这两个方法的结果是一样的。
(2)要求实验报告中画出矩阵散点图，给出参数的点估计、区间估计、t检验值、判定系数和模型F检验的方差分析表
绘制矩阵散点图。
library(graphics) pairs(data[,-1]pch = 21,bg = c(\'red\',\'green3\',\'blue\')) # pch参数是控制点的形状，bg是控制点的颜色
下面代码给出参数的点估计，t检验值，判定系数
> summary(lm(y~x_mat+1))
Call:
lm(formula = y ~ x_mat + 1) #调用
Residuals: #残差统计量，残差第一四分位数(1Q)和第三分位数(3Q)有大约相同的幅度，意味着有较对称的钟形分布
Min 1Q Median 3Q Max
-4397.9 -1102.4 153.8 1184.4 2934.6
Coefficients: (1 not defined because of singularities)
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.941e+04 3.524e+04 0.551 0.591
x_matrep(1, 17) NA NA NA NA
x_matX1 2.680e-01 4.466e-02 6.000 4.45e-05 ***
x_matX2 -2.874e-01 1.668e-01 -1.723 0.109
x_matX3 -2.974e+02 3.688e+02 -0.806 0.435
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#标记为Estimate的列包含由最小二乘法计算出来的估计回归系数。
#标记为Std.Error的列是估计的回归系数的标准误差。
#从理论上说，如果一个变量的系数是0，那么该变量将毫无贡献。然而，这里显示的系数只是估计，它们不会正好为0.
#因此，我们不禁会问：从统计的角度而言，真正的系数为0的可能性有多大？这是t统计量和P值的目的，在汇总中被标记为t value和Pr(>|t|)
#P值估计系数不显著的可能性，有较大P值的变量是可以从模型中移除的候选变量
Residual standard error: 2013 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9982, Adjusted R-squared: 0.9977
F-statistic: 2348 on 3 and 13 DF, p-value: < 2.2e-16
#Residual standard error 表示残差的标准差，F-statistic 表示F的统计量
区间估计？方差分析表？
#参数的区间估计 fm = lm(y~x_mat) confint(fm,level = 0.95) anova(fm) #方差分析
(3)保留模型中线性关系显著的预测变量确定最后的模型，并利用R软件中的"predict"语句预测2017年的税收收入
根据回归分析结果，只有变量X1具有显著性。所以模型中仅保留变量X1。
构造模型：
x_mat = cbind(rep(1,17),data[,3]) y = data[,2] res = lm(y~x_mat) res > res Call: lm(formula = y ~ x_mat) Coefficients: (Intercept) x_mat1 x_mat2 -6213.0189 NA 0.1915
该模型为：Y = -6213.0189 + 0.1915 X1
接下来预测2017年的税收收入，先根据数据data对 t 和 y 之间的关系进行回归分析
t = data[,1] y = data[,2] res = lm(y~t) res > res Call: lm(formula = y ~ t) Coefficients: (Intercept) t -16428607 8213
所以 t 与 y 的关系为：y = -16428607 + 8213 t
预测 2017 年的税收收入：
> newdata = data.frame(t = 2017)
> pre = predict(res,newdata,interval = "prediction",level = 0.95)
> pre
fit lwr upr
1 136337.8 116018.1 156657.4
（4）方差齐性检验，正态性检验，误差相关性的DW检验
rm(list = ls())
library(openxlsx)
data = read.xlsx("22_data.xlsx",sheet = 3)
data
attach(data) #执行此命令之后，直接用列名引用数据
fm = lm(y~X1+X2+X3)
summary(fm)
#残差图：方差齐性检验 ei = resid(fm) #残差 X = cbind(1,as.matrix(data[,3:5])) #创建设计阵，注意as.matrix的对象 t = ti(ei,X) #外部学生化残差 r = ri(ei,X) #学生化残差 plot(fitted(fm),t,xlab = "y估计值",ylab = "学生化残差",ylim = c(-4,4)) abline(h = 0)
1)上图表示，围绕x轴上下波动，不是均匀分布，方差不齐，但是这个残差图代表什么呢？
2)第17个点是异常点
#正态概率图：正态性检验 plot_ZP(t)
除了17号点，其他的点基本在一条直线。
plot_ZP(t[1:16])
#误差相关性的DW检验 library(lmtest) dw = dwtest(fm) #DW检验函数
> dw
Durbin-Watson test
data: fm
DW = 0.90086, p-value = 0.0006763
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
p值远小于0.05，拒绝原假设ρ=0，所以误差是自相关的
plot(ei) #绘制时间序列中的残差图 abline(h = 0)
图像表明：误差是正自相关的。
正自相关：如果前一个残差大于0，那么后一个残差大于0的概率较大
负自相关：富国前一个残差大于0，那么后一个残差小于0的概率较大
（4）强影响点分析，异常点分析
#强影响点分析 #方法：手指律、刀切法、cook距离、deffits #influence.measures(fm) influence.measures(fm) # 函数得到的回归诊断共有9列， # 其中1,2,3,4列是dfbetas值（对应常数与变量x）， # 第5列是dffits的准则值， # 第6列是covratio的准则值, # 第7列是cook值,第8列是帽子值（高杠杆值）， # 第9列是影响点的标记， # inf表明16，17号是强影响点。
#cook距离判断强影响点
res = cooks.distance(fm) > res[res>4/(17-3-1)] 17 1.266196 > #17号是强影响点
#异常点 #方法：dfbetas、F统计量、outlierTest() library(car) outlierTest(fm)
rstudent unadjusted p-value Bonferroni p 17 -4.277398 0.0010739 0.018257
Bonferroni p < 0.05 , 结果显示17号点是异常点
#使用influencePlot()将异常点绘入图中 influencePlot(fm)
#F统计量page88
calcu_F = function(p,r) #p回归参数个数，r学生化残差
{
n = length(r)
ans = (n-p-2)*(r**2)/(n-p-1-r**2)
return(ans)
}
ff = calcu_F(3,r)
#与自由度为1,n-p-2,显著性水平为α的F值比较
df_val = qf(1-0.05,1,12)
ff[ff>df_val] #检验显著性
17
18.29613
（6）模型失拟检测
模型失拟检测
1.有重复值用失拟检测的正规检验《线性回归导论》
2.无重复值
1）当模型的预测变量个数多余1时，考虑偏残差法
2）无论预测变量个数，近邻点估计纯误差方法都可以
# 偏残差：
data
beta = coef(fm)
beta1 = beta[2]
beta2 = beta[3]
beta3 = beta[4]
#第一个预测变量：
par(mfrow = c(2,2))
cancha1 = ei + beta1*(data$X1)
plot(data$X1,cancha1)
#第二个预测变量：
cancha2 = ei + beta2*(data$X2)
plot(data$X2,cancha2)
#第三个预测变量：
cancha3 = ei + beta3*(data$X3)
plot(data$X3,cancha3)
#通过图像，第三个预测变量不
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