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作者简介Introduction

姚某某 

知乎专栏：https://zhuanlan.zhihu.com/mydata

往期回顾：

R语言之高级数据分析「聚类分析」

本节主要总结「数据分析」的「时间序列」相关模型的思路。

「时间序列」是一个变量在连续时点或连续时期上测量的观测值的序列，它与我们以前见过的数据有本质上的区别，这个区别在于之前的数据都在一个时间的横截面上去测量、计算数据，而「时间序列」给出了一种时间轴线上纵向的视角，将时间作为自变量，测量出一系列纵向数据。

关于「时间序列」的预测模型，我所了解的常用模型有三种：1. 移动平均  2. 指数预测模型 3. ARIMA 预测模型

0. 时序的分解

要研究时序如何预测，首先需要将复杂的时序数据进行分解，将复杂的时序数据分解为单一的分解成分，这样能利用统计方法进行拟合，然后个个击破，最后再合成为我们需要预测的未来时序数据。

前人在这一问题上已经得到很好的结论，通过对时序数据现实意义的理解，一般将时序数据分解为四个成分：

1. 水平项 

2. 趋势项 

3. 季节效应（衍生出去为周期项）

4. 随机波动

• 水平项，即剔除时序数据的趋势影响和季节影响后，时序数据所剩的成分，它代表着时序数据在时间轴上相对稳定的一个基础值。就像一个原点一样，在这个原点上去考虑时间所带来的趋势影响和季节影响。

• 趋势项，它用于捕捉时序数据的长期变化，是逐步增长还是逐步下降。就像在二元空间中的一个单调函数。

• 季节效应，衍生出去就是周期型，在一定时间内，时序数据所包含的周期型变化。就像在二元空间中的三角函数，如y=sinx，其数值是周而复始的。

通常在分解以上各个成分时，有两种模式，一个是乘法模型，一个是加法模型。其中，加法模型的季节效应被认为不依赖于时间序列，二乘法模型认为季节影响随着时间会发生改变。不过两种模型在计算时可以相通，对乘法模型作对数处理即可。

1. 移动平均

这一方法很简单，只做简单讲解

• 所谓移动平均，就是使用时间序列中最接近的 k 期数据值的平均值作为下一个时期的预测值。
  

即：                                        

较小的 k 值将更快速追踪时间序列的移动，而较大的 k 值将随着时间的推移更有效地消除随机波动。

• 可延伸为加权移动平均，此法对每个数值选择不同的的权重，然后计算最近 k 期数据值的加权平均数作为预测值。

• 如果仅用于平滑现有数据，也可以使用居中移动平均，即使用时序中前后最接近的各 q 期数据及自己的平均值作为在该时点上的平滑值。
  

即：                                        

2. 指数预测模型

指数预测模型也是利用过去的时间序列值的加权平均数作为预测值，它是加权移动平均法的一个特例。

即：只选择最近时期观测值的权重，其他数据值的权重则自动推算，原则是时间距离越远权重越小。

2.1. 单指数平滑

单指数平滑，不考虑季节和趋势分解，仅用过去数据值的加权平均数来预测。其思想为：

其中 F 为某时刻的预测值，Y 为某时刻的观测值。以上公式从 t = 1 开始递推，则每个时刻的预测值都包含着过去所有观测值的成分，只是权重不同，令F1 = Y1 ，则：

α为平滑常数，越接近于 1 ，则近期观测值的权重越大；反之，越接近于0，历史观测值权重越大。

2.2. Holt 指数平滑

Holt 指数平滑，在单指数平滑的基础上，还对趋势项进行了拟合。

由于考虑到了趋势项，则预测值可表示为：

其中 Lt 为 t 时刻时序水平项的估计值，bt为 t 时刻时序斜率的估计值。

α为水平平滑常数， β为斜率平滑常数。

2.3. Holt-Winters 指数平滑

Holt-Winters 指数平滑，在 Holt 指数平滑的基础上，还对季节项（周期项）进行了拟合，

由于还考虑到了季节项，则预测值表示为：

其中 i 为季节项的周期，mod 是求余，P 是某时刻时序周期的估计值。

α为水平平滑常数，β为斜率平滑常数，γ为周期平滑常数。

2.4. R 语言实现

以上三种指数平滑模型，采用 forecast 包中的 ets ( ) 函数即可：

ets(ts, model="zzz")
# ts 为需要分析的时序
# model 为模型选择参数，具体分类如下
# 不指定 model 参数时，自动匹配最优模型

3. ARIMA 预测模型

ARIMA 模型的相关资料我找到了，但是并没有看完和看懂，相对来说其思想确实有些复杂。而且最近买了《统计学方法》和《机器学习》两本书，发现自己的线性代数水平还很难看懂这些公式和算法推导，所以准备把《 R 语言实战 》敲完后转入线性代数的复习，之后学习方向待定。

这里我就仅把利用 R 语言进行 ARIMA 模型模拟和预测的流程做以总结：

3.1. 确保时序是平稳的

时序平稳的要求一般有两个：方差为均值、无趋势项

方法是利用时序图估判和 ndiffs ( ) 函数推荐最优的差分次数 d 。

3.2. 选择模型

通过 ACF 和 PACF 图来判断 p 和 q 参数的值。

其中 ACF 为自相关函数图用于判断 q，PACF 为偏自相关图用于判断 p。

p 为自回归模型（AR）参数，q 为移动平均模型（MA）参数。

3.3. 拟合模型

fit <- arima(ts, order=c(p,d,q))
# ts 为原时序，order 中放入包含三个参数的向量
fit
# 一般要进行多组参数的尝试，在输出结果中利用 AIC 值来选择最合理的模型，AIC 越小越好
accuracy(fit)
# 得到一系列误差值，用于准确性度量

3.4. 模型评价

模型的残差应该满足独立正态分布，根据这一条：

1. 使用正态 Q-Q 图来判断其正态性

2. 使用box.test ( ) 函数对模型的残差进行独立性检验。

3.5. 预测

forecast(fit,3)
# fit 为我们之前拟合好的最佳模型，3 指的是要预测的年数

3.6. 自动预测

forecast 包中的 auto.arima ( ) 函数可以实现最优 ARIMA 模型的自动选取。

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