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我们知道参数的置信区间的计算，这些都服从一定的分布(t分布、正态分布），因此在标准误前乘以相应的t分值或Z分值。但如果我们找不到合适的分布时，就无法计算置信区间了吗？幸运的是，有一种方法几乎可以用于计算各种参数的置信区间，这就是Bootstrap 法。
本文使用BOOTSTRAP来获得预测的置信区间。我们将在线性回归基础上讨论。
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> reg=lm(dist~speed,data=cars)
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> points(x,predict(reg,newdata= data.frame(speed=x)))
这是一个单点预测。当我们想给预测一个置信区间时，预测的置信区间取决于参数估计误差。
预测置信区间
让我们从预测的置信区间开始
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> for(s in 1:500){
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+ indice=sample(1:n,size=n,
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+ replace=TRUE)
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+ points(x,predict(reg,newdata=data.frame(speed=x)),pch=19,col="blue")
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蓝色值是通过在我们的观测数据库中重新取样获得的可能预测值。值得注意的是，在残差正态性假设下（回归线的斜率和常数估计值），置信区间（90%）如下所示：
predict(reg,interval ="confidence",
在这里，我们可以比较500个生成数据集上的值分布，并将经验分位数与正态假设下的分位数进行比较，
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> hist(Yx,proba=TRUE
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> boxplot(Yx,horizontal=TRUE
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> polygon(c( x ,rev(x I]))))
可以看出，经验分位数与正态假设下的分位数是可以比较的。
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> quantile(Yx,c(.05,.95))
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5% 95%
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58.63689 70.31281
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+ level=.9,newdata=data.frame(speed=x))
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fit lwr upr
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1 65.00149 59.65934 70.34364
感兴趣变量的可能值
现在让我们看看另一种类型的置信区间，关于感兴趣变量的可能值。这一次，除了提取新样本和计算预测外，我们还将在每次绘制时添加噪声，以获得可能的值。
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> for(s in 1:500){
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+ indice=sample(1:n,size=n,
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+ base=cars[indice,]
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+ erreur=residuals(reg)
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+ predict(reg,newdata=data.frame(speed=x))+E
在这里，我们可以（首先以图形方式）比较通过重新取样获得的值和在正态假设下获得的值，
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> hist(Yx,proba=TRUE)
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> boxplot(Yx) abline(v=U[2:3)
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> polygon(c(D$x[I,rev(D$x[I])
数值上给出了以下比较
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> quantile(Yx,c(.05,.95))
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5% 95%
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44.43468 96.01357
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U=predict(reg,interval ="prediction"
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fit lwr upr
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1 67.63136 45.16967 90.09305
这一次，右侧有轻微的不对称。显然，我们不能假设高斯残差，因为有更大的正值，而不是负值。考虑到数据的性质，这是有意义的（制动距离不能是负数）。
然后开始讨论在供应中使用回归模型。为了获得具有独立性，有人认为必须使用增量付款的数据，而不是累计付款。
可以创建一个数据库，解释变量是行和列。
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> base=data.frame(
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+ y
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> head(base,12)
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y ai bj
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1 3209 2000 0
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2 3367 2001 0
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3 3871 2002 0
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4 4239 2003 0
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5 4929 2004 0
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6 5217 2005 0
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7 1163 2000 1
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8 1292 2001 1
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9 1474 2002 1
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10 1678 2003 1
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11 1865 2004 1
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12 NA 2005 1
然后，我们可以从基于对数增量付款数据的回归模型开始，该模型基于对数正态模型
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Coefficients:
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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
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(Intercept) 7.9471 0.1101 72.188 6.35e-15 ***
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as.factor(ai)2001 0.1604 0.1109 1.447 0.17849
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as.factor(ai)2002 0.2718 0.1208 2.250 0.04819 *
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as.factor(ai)2003 0.5904 0.1342 4.399 0.00134 **
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as.factor(ai)2004 0.5535 0.1562 3.543 0.00533 **
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as.factor(ai)2005 0.6126 0.2070 2.959 0.01431 *
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as.factor(bj)1 -0.9674 0.1109 -8.726 5.46e-06 ***
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as.factor(bj)2 -4.2329 0.1208 -35.038 8.50e-12 ***
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as.factor(bj)3 -5.0571 0.1342 -37.684 4.13e-12 ***
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as.factor(bj)4 -5.9031 0.1562 -37.783 4.02e-12 ***
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as.factor(bj)5 -4.9026 0.2070 -23.685 4.08e-10 ***
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Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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Residual standard error: 0.1753 on 10 degrees of freedom
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(15 observations deleted due to missingness)
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Multiple R-squared: 0.9975, Adjusted R-squared: 0.9949
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F-statistic: 391.7 on 10 and 10 DF, p-value: 1.338e-11
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>
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exp(predict(reg1,
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+ newdata=base)+summary(reg1)$sigma^2/2)
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[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
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[1,] 2871.2 1091.3 41.7 18.3 7.8 21.3
-
[2,] 3370.8 1281.2 48.9 21.5 9.2 25.0
-
[3,] 3768.0 1432.1 54.7 24.0 10.3 28.0
-
[4,] 5181.5 1969.4 75.2 33.0 14.2 38.5
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[5,] 4994.1 1898.1 72.5 31.8 13.6 37.1
-
[6,] 5297.8 2013.6 76.9 33.7 14.5 39.3
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> sum(py[is.na(y)])
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[1] 2481.857
这与链式梯度法的结果略有不同，但仍然具有可比性。我们也可以尝试泊松回归（用对数链接）
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glm(y~
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+ as.factor(ai)+
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+ as.factor(bj),data=base,
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+ family=poisson)
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Coefficients:
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Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
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(Intercept) 8.05697 0.01551 519.426 < 2e-16 ***
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as.factor(ai)2001 0.06440 0.02090 3.081 0.00206 **
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as.factor(ai)2002 0.20242 0.02025 9.995 < 2e-16 ***
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as.factor(ai)2003 0.31175 0.01980 15.744 < 2e-16 ***
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as.factor(ai)2004 0.44407 0.01933 22.971 < 2e-16 ***
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as.factor(ai)2005 0.50271 0.02079 24.179 < 2e-16 ***
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as.factor(bj)1 -0.96513 0.01359 -70.994 < 2e-16 ***
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as.factor(bj)2 -4.14853 0.06613 -62.729 < 2e-16 ***
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as.factor(bj)3 -5.10499 0.12632 -40.413 < 2e-16 ***
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as.factor(bj)4 -5.94962 0.24279 -24.505 < 2e-16 ***
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as.factor(bj)5 -5.01244 0.21877 -22.912 < 2e-16 ***
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Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
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Null deviance: 46695.269 on 20 degrees of freedom
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Residual deviance: 30.214 on 10 degrees of freedom
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(15 observations deleted due to missingness)
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AIC: 209.52
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Number of Fisher Scoring iterations: 4
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> predict(reg2,
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newdata=base,type="response")
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> sum(py2[is.na(y)])
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[1] 2426.985
预测结果与链式梯度法得到的估计值吻合。克劳斯·施密特（Klaus Schmidt）和安吉拉·温什（Angela Wünsche）于1998年在链式梯度法、边际和最大似然估计中建立了与最小偏差方法的联系。
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