MATLAB练习
第六章数据分析与多项式计算
1、max和min
1、分别求矩阵A中各列和各行元素中的最大值。max和min的用法一样
% 【例6.1】分别求矩阵中各列和各行元素中的最大值。
A=[54,86,453,45;90,32,64,54;-23,12,71,18];
y1=max(A); %求矩阵A中各列元素的最大值
y2=max(A,[],2) %求矩阵A中各行元素的最大值
y2 =
453
90
71
>> y1
y1 =
90 86 453 54
2、求矩阵X、Y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。
>> X=[443,45,43;67,34,-43];
>> Y=[65,73,34;61,84,326];
>> p=max(X,Y);%两矩阵元素的同一位置比较，返回最大值
p =
443 45 45
67 45 45
3、将矩阵A的元素与常数x比较，返回较大的元素，构成同A阶数相同的矩阵，元素取
>> x=45;
>> p=max(A,x);
p =
443 45 45
67 45 45
2、求和sum(A)和sum(X,dim)、求积prod用发同sum
求矩阵A的每行元素之和和全部元素之和。
>> A=[9,10,11,12;100,200,300,400;50,60,50,60];
>> S=sum(A,2) %求A每行元素的和
S =
42
1000
220
>> p=sum(A) %求A的全部元素之和
P =
1262
3、求平均值和中值
求平均数格式：
M=mean(X); X:向量或者矩阵
M=mean(A,dim); dim=1或2(行)
求中值格式：
M=median(X); X:向量或者矩阵
M=median(A,dim); dim=1或2(列)
例如，求向量x = [-8，2，4，7，9]与y = [-8，2，4，7，9，15]的平均值和中值。
>> x=[-8,2,4,7,9]; % 奇数个元素
>> mx=[mean(x),median(x)]
mx =
2.8000 4.0000
>> y=[-8,2,4,7,9,15]; % 偶数个元素
>> my=[mean(y), median(y)]
my =
4.8333 5.5000
4、求累加和与累乘积
累加格式：
B = cumsum(X)； X：向量或矩阵
B = cumsum(X,dim)： dim：1或2(列)
累乘积用法同累加和
B = cumprod(X)； X：向量或矩阵
B = cumprod(X,dim)： dim：1或2(列)
列【例6.4】求S=1+（1+2）+(1+2+3)+…+(1+2+…+10)的值。
>> y=cumsum(1:10)
y =
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
>> s=sum(y)
s =
220
5、统计描述函数
1、标准差
调用格式
s = std(X , w, dim) X矩阵或者行向量，w：用于指定标准差的计算方法；w=0或1 dim=1或2(求行元素标准差)
某次射击选拔比赛中小明与小华的10次射击成绩（单位：环）如表6.1所示，试比较两人的成绩。
小明：7,4,9,8,10,7,8,7,8,7
小华：7,6,10,5,9,8,10,9,5,6
>> hitmark=[7,4,9,8,10,7,8,7,8,7;7,6,10,5,9,8,10,9,5,6];
>> mean(hitmark,2)； %按行求平均值，返回一个列向量
ans =
7.5000
7.5000
>> std(hitmark,[],2)；按行求标准差，返回一个列向量
ans =
1.5811
1.9579
注意：标准差越小，成绩波动越小
2、方差
var函数的调用格式为
V = var(X, w, dim) x：向量或者矩阵 w用于指定权重方案(为0:或为1) dim=1(求各列方差)或2
考察一台机器的产品质量，判定机器工作是否正常。根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。假设搜集的数据如表6.2所示，问此时的机器是否必须关闭？
>> samples=[3.43,3.45,3.43,3.48,3.52,3.50,3.39,3.48,3.41,3.38,3.49,3.45,3.51,3.50];
>>var_samples=var(samples);
var_samples =
0.0021
3、相关系数
[R,P]=corrcoef(X,Y)： %R：相关系数矩阵，p:p值矩阵 X和我Y：
矩阵返回相关系数矩阵和p值矩阵。如果得到的p值矩阵的非对角线元素小于显著性水平（即90%置信区间，默认为 0.05），则R中的相应相关性被视为显著
[R,P]=corrcoef(X)
【例6.7】随机抽取15名健康成人，测定血液的凝血酶浓度及凝血时间，数据如表6.3所示。分析凝血酶浓度与凝血时间之间的相关性。
>> density=[1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7]; %凝血酶浓度
>> cruortime=[14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17]; %凝血时间
>> [R,P]=corrcosf(density,cruortime)
R =
1.0000 -0.9265
-0.9265 1.0000
注意;R的绝对值接近1，说明相关程度高
4、协方差
C = cov(x)：
C = cov(x,y)
随机抽取15名健康成人，测定血液的凝血酶浓度及凝血时间，数据如表6.3所示。分析凝血酶浓度与凝血时间之间的相关性
>> density=[1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7];
>> cruortime=[14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17];
>> C=cov(density,cruortime)
C =
0.0289 -0.2014
-0.2014 1.6381
注意：如果两个变量的协方差是正值，说明两者是正相关的，即两个变量的变化趋势一致；如果协方差为负值，则说明两者是负相关的，即两个变量的变化趋势相反；如果协方差为0，说明两者之间没有关系
6排序
[Y,I]=sort(X, dim, mode) Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在X中的位置，mode指明排序的方法，\'ascend\'（默认值）为升序，\'descend\'为降序
6.8】对二维矩阵A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];做各种排序
>> A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];
>> Y=sort(A,2,\'descend\') %对A的每行按降序排序
Y =
5 1 -8
12 6 4
13 7 -13
>> [X,I]=sort(A) %对A的每列按升序排序，矩阵I存储X各元素在A对应列中的行号
X =
1 -8 -13
4 7 5
13 12 6
I =
1 1 3
2 3 1
3 2 2
6.2多项式计算
6.2.1多项式的四则运算
1、多项式的加减运算
计算
>> a=[1,-2,5,3];
>> b=[0,0,6,-1];
>> c=a+b
c =
1 -2 11
2、多项式的乘除
w = conv(P1,P2)
[Q,r] = deconv(P1,P2)
P1、P2是两个多项式的系数向量
w是两个多项式相乘所得r
如果多项式
>> A=[1,8,0,0,-10];
>> B=[2,-1,3];
>> C=conv(A,B)
C =
2 15 -5 24 -20 10 -30
>> [P,r]=deconv(A,B)
P =
0.5000 4.2500 1.3750
r =
0 0 0 -11.3750 -14.1250
以下命令验证deconv和conv是互逆的。
>> conv(B,P)+r
ans =
1 8 0 0 -10
6.2.2多项式求导
k=polyder(P)：求多项式P的导数，即
k=polyder(P,Q)：求P·Q的导数，即
[q,d]=polyder(P,Q)：求P/Q的导数
>> P=[1];
>> Q=[1,0,5];
>> [p,q]=polyder(P,Q)
p =
-2 0
q =
1 0 10 0 25
6.2.3多项式的求值
1、代数多项式求值
y = polyval(p,x) p是多项式系数向量。 x：标量，向量，矩阵
【例6.11】已知多项式x4 + 8x3 - 10，分别取x = 1.2和一个2 × 4矩阵为自变量计算该多项式的值。
>> A=[1,8,0,0,-10]; % 4次多项式系数
>> x=1.2; % 取自变量为一数值
>> y1=polyval(A,x)
y1 =
5.8976
>> x=randi(9,2,4) %randi(imax,m,n)函数：生成一组值在[1, imax]区间均匀分布的随机整数，构建m × n矩阵
x =
8 2 6 3
9 9 1 5
>> y2=polyval(A,x) % 分别计算矩阵x中各元素为自变量的多项式之值
y2 =
8182 70 3014 287
12383 12383 -1 1615
2、矩阵多项式求值
polyval(P,A); A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
polyvalm(P,A) 的含义为 A：方阵 A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
以多项式x4 + 8x3 -10为例，取一个2 × 2矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。
>> A=[1,8,0,0,-10]; % 多项式系数 >> x=[-1,1.2; 2,-1.8]; % 给出一个矩阵x >> y1=polyval(A,x) % 计算代数多项式的值 y1 = -17.0000 5.8976 70.0000 -46.1584 >> y2=polyvalm(A,x) % 计算矩阵多项式的值 y2 = -60.5840 50.6496 84.4160 -94.3504
6.2.4多项式的求根
x=roots(P) P为多项式的系数向量
【例6.13】已知
（1）计算f(x) = 0的全部根。
（2）由方程f(x) = 0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。
>> P=[2,-12,3,0,5]; >> X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 X = 5.7246 + 0.0000i 0.8997 + 0.0000i -0.3122 + 0.6229i -0.3122 - 0.6229i >> G=poly(X) %求多项式g(x) G = 1.0000 -6.0000 1.5000 -0.0000 2.5000
6.2.5多项式的除法变换
[r,p,k] = residue(b,a)
[b,a] = residue(r,p,k)
a、b 分别为分式的分母多项式、分子多项式的系数向量，r是分数多项式的商式的系数向量，p为分数多项式的极点，k为分数多项式的余式的系数向量
【例6.14】已知
（1）将f(x)进行分式分解。
（2）由分解的分式合成g(x)，并与f(x)进行对比。
>> b = [5 3 2 7]; %分子系数
>> a = [-4 0 8 3]; %分母系数
>> [r, p, k] = residue(b,a) %r分数多项式的商式系数向量
r =
-1.4167
-0.6653
1.3320
p = %p为分数多项式的极点
1.5737
-1.1644
-0.4093
k =
-1.2500
>> [b,a] = residue(r,p,k)
b =
-1.2500 -0.7500 0.5000 -1.7500
a =
1.0000 -0.0000 -2.0000 -0.7500
6.3数据插值
6.3.1一维数据插值
vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
x、v是两个等长的已知向量，分别存储采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值，则v可以为矩阵，v的每一列对应一种采样值。
输入参数xq存储插值点，输出参数vq是一个列的长度与xq相同、宽度与v相同的矩阵。
选项method用于指定插值方法,可取值如下。
‘linear’（默认值）：线性插值。
‘pchip’：分段3次埃尔米特插值
‘spline’：3次样条插值
‘ nearest’：最近邻点插值
‘next’：取最后一个采样点的值作为插值点的值
\'previous\'：取前一个采样点的值作为插值点的值
标量：设置域外点的返回值
【例6.15】表6.4所示为我国0~6个月婴儿的体重、身长参考标准，用3次样条插值分别求得婴儿出生后半个月到5个半月每隔1个月的身长、体重参考值。
>> tp=0:1:6; %采样点 >> bb=[50.6,3.27;56.5,4.97;59.6,5.95;62.3,6.73;64.6,7.32;65.9,7.70;68.1,8.22]; %采样值 >> interbp=0.5:1:5.5; >> interbv=interp1(tp,bb,interbp,\'spline\') %用3次样条插值计算 interbv = 54.0847 4.2505 58.2153 5.5095 60.9541 6.3565 63.5682 7.0558 65.2981 7.5201 66.7269 7.9149
x1 = 1:7; subplot(1,2,1) y1=x1; y1(x1<3)=3; y1(x1>5)=5; xq1 = 1:0.1:7; %存储插值点 p1 = interp1(x1,y1,xq1,\'pchip\'); %分段3次埃尔米特插值
s1 = interp1(x1,y1,xq1,\'spline\'); %3次样条插值
plot(x1,y1,\'ko\',xq1,p1,\'r-\',xq1,s1,\'b-.\') subplot(1,2,2) x2 = 1:0.2:2*pi; %\'ko\':黑圆圈作为数据点标记
y2 = cos(5*x)./sqrt(x); xq2 = 1:0.1:2*pi;
p2 = interp1(x2,y2,xq2,\'pchip\');
s2 = interp1(x2,y2,xq2,\'spline\'); plot(x2,y2,\'ko\',xq2,p2,\'r-\',xq2,s2,\'b-.\')；
legend(\'Sample Points\',\'pchip\',\'spline\')
6.3数据插值
6.3.1一维数据插值
vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
x、v是两个等长的已知向量，分别存储采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值，则v可以为矩阵，v的每一列对应一种采样值。
输入参数xq存储插值点，输出参数vq是一个列的长度与xq相同、宽度与v相同的矩阵。
选项method用于指定插值方法,可取值如下。
‘linear’（默认值）：线性插值。
‘pchip’：分段3次埃尔米特插值
‘spline’：3次样条插值
‘ nearest’：最近邻点插值
‘next’：取最后一个采样点的值作为插值点的值
\'previous\'：取前一个采样点的值作为插值点的值
标量：设置域外点的返回值
【例6.15】表6.4所示为我国0~6个月婴儿的体重、身长参考标准，用3次样条插值分别求得婴儿出生后半个月到5个半月每隔1个月的身长、体重参考值。
>> tp=0:1:6; %采样点 >> bb=[50.6,3.27;56.5,4.97;59.6,5.95;62.3,6.73;64.6,7.32;65.9,7.70;68.1,8.22]; %采样值 >> interbp=0.5:1:5.5; %8存储插入点 >> interbv=interp1(tp,bb,interbp,\'spline\') %用3次样条插值计算 interbv = 54.0847 4.2505 58.2153 5.5095 60.9541 6.3565 63.5682 7.0558 65.2981 7.5201 66.7269 7.9149
6.3.2网格数据插值
1、二维数据插值
其调用格式为
Zq=interp2(X, Y, V, Xq, Yq, method, extrapval)
X、Y分别存储采样点的平面坐标，V存储采样点采样值。
Xq、Yq存储插值点的平面坐标，Zq是根据相应的插值方法得到的插值点的值。
选项method的取值与一维插值函数相同，extrapval指定域外点的返回值。
【例6.17】表6.5所示为某企业从1968~2008年、工龄为10年、20年和30年的职工的月均工资数据。试用线性插值求出1973~1993年每隔5年、工龄为15年和25年的职工月平均工资。
>> x=1968:10:2008; %平面坐标的横坐标
>> h=[10:10:30].\'; %平面坐标的纵坐标
>> W=[57,79,172,950,2496;
69,95,239,1537,3703;
87,123,328,2267,4982];
>> xi=1973:5:2003; %存储采样点采样值
>> hi=[15;25];
>> WI=interp2(x,h,W,xi,hi)
WI =
1.0e+03 *
0.0750 0.0870 0.1462 0.2055 0.7245 1.2435 2.1715
0.0935 0.1090 0.1963 0.2835 1.0928 1.9020 3.1223
2. 多维数据插值
MATLAB提供了3维、N维插值函数interp3、interpn，用法与interp2 一致。
Vq=interp3(X, Y, Z, V, Xq, Yq, Zq, method)
Vq=interpn(X1, X2,…,Xn, V, Xq1, Xq2,…,Xqn, method)
interp3函数的输入参数X、Y、Z以及interpn函数的输入参数 X1、X2、X3、...、Xn必须是网格格式。
6.3.3散乱数据插值
vq = griddata(x,y,v,xq,yq,method)
vq = griddata(x,y,z,v,xq,yq,zq,method)
x、y、z存储采样点的坐标，v是与采样点的采样值
xq、yq、zq存储插值点的坐标，vq是根据相应的插值方法得到的插值结果。
选项method指定插值方法，可取值如下。
‘linear’（默认值）:基于三角剖分的线性插值、
‘nearest’：基于三角剖分的最近邻点插值、
‘natural’：基于三角剖分的三次自然邻点插值、
‘cubic’：基于三角剖分的三次插值，仅支持二维插值、
\'v4\'：双调和样条插值，仅支持二维插值
【例6.18】随机生成包含100个散点的数据集，绘制散点数据图和插值得到的网格数据图，观察插值结果。
xy=rand(100,3)*10-5; x = xy(:,1); y = xy(:,2); z = xy(:,3); [xq,yq] = meshgrid(-4.9:0.08:4.9, -4.9:0.08:4.9); zq = griddata(x,y,z,xq,yq); mesh(xq,yq,zq) hold on plot3(x,y,z,\'rp\')
结果
6.4曲线拟合
polyfit函数的调用格式为
p = polyfit(x,y,n)
[p,S] = polyfit(x,y,n)
[p,S,mu]=polyfit(X,Y,n)
x、y是两个等长的向量，存储采样点x和采样值y
产生一个n次多项式的系数向量p及其在采样点的误差向量S。p是一个长度为n + 1的向量，p的元素为多项式p1xn+p2xn−1+...+pnx+pn+1的系数。
mu是一个二元列向量，mu(1)是mean(x)， mu(2)是std(x)。
【例6.19】某研究所为了研究氮肥的施肥量对土豆产量的影响，做了十次实验，实验数据如表6.6所示。试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系
data=[0,15.18;34,21.36;67,25.72;101,32.29;135,34.03; ...
202,39.45;259,43.15;336,43.46;404,40.83;471,30.75];
x=data(:,1);
y=data(:,2);
f=polyfit(x,y,2);
yi=polyval(f,x);
plot(x,y,\'rp\',x,yi)
6.5 非线性方程和非线性方程组的数值求解
6.5.1 非线性方程求解
求解一元连续函数F(x)的零点。
格式1：x=fzero(@fun,x0,options) --->fun：函数名，x0：搜索起点。fzero只返回离x0最近的那个根。option为结构体变量。用于指定求解过程的优化参数。
格式2：[x,fval,exitflag,output]=fzero(@fun,x0,options) --->fval返回目标函数在解x处的值，exitflag：返回求解过程终止原因，output ：返回寻根过程最优化的信息。
格式1为基本格式，格式2在函数寻根失败时返回寻根过程的错误和信息。
fzero的优化参数通常调用optimset函数设置，optimset函数的调用方法如下。options = optimset(优化参数1,值1, 优化参数2,值2,...)
【例6.20】求 e -2x - x =0在x
fzero的优化参数通常调用optimset函数设置，optimset函数的调用方法如下。
options = optimset(优化参数1,值1, 优化参数2,值2,...)
（1）建立函数文件funx.m。
function fx=funx(x) fx=exp(-2*x)-x;
（2）调用fzero函数求根。
>> z=fzero(@funx,0.0) z = 0.4263
如果要观测函数求根过程，可先设置优化参数，然后求解，命令如下。
>> options=optimset(\'Display\',\'iter\');%设定显示迭代求解的中间结果 >> z=fzero(@funx,0.0,options);
【例6.21】求下列非线性方程组在（0.5，0.5）附近的数值解。
（1）建立函数文件myfun.m。
function q=myfun(p) x1=p(1); x2=p(2); q(1)=x1^2+x1-x2^2-1; q(2)=x2-sin(x1^2);
（2）在给定的初值（0.5，0.5）下，调用fsolve函数求方程的根。
x0=[0.5;0.5]; options = optimoptions(\'fsolve\',\'Display\',\'off\'); %不显示中间结果 x= fsolve(@myfun,x0,options) x = 0.7260 0.5029
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