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引言

在本文中，我们将尝试为苹果公司的日收益率寻找一个合适的 GARCH 模型。波动率建模需要两个主要步骤。

1. 指定一个均值方程（例如 ARMA，AR，MA，ARIMA 等）。
2. 建立一个波动率方程（例如 GARCH, ARCH，这些方程是由 Robert Engle 首先开发的）。

要做(1)，你需要利用著名的Box-Jenkins方法，它包括三个主要步骤。

1. 识别
2. 估算
3. 诊断检查

这三个步骤有时会有不同的名称，这取决于你读的是谁的书。在本文中，我将更多地关注（2）。

我将使用一个名为quantmod的软件包，它代表量化金融建模框架。这允许你在R中直接从各种在线资源中抓取金融数据。

1.  
    
2.  
   #install.packages("quantmod") -需要先安装该软件包
3.  
    
4.  
   getSymbols(Symbols = "AAPL",
5.  
   src="yahoo", #其他来源包括：谷歌、FRED等。
6.  
    
7.  
    

收益通常有一个非常简单的平均数方程，这导致了简单的残差。

我们首先要测试序列依赖性，这是条件异方差的一个指标（序列依赖性与序列相关不同）。这是通过对原始序列的平方/绝对值进行测试，并使用Ljung和Box（1978）的Ljung-Box测试等联合假设进行测试，这是一个Portmentau检验，正式检验连续自相关，直到预定的滞后数，如下所示。

其中T是总的周期数，m是你要测试的序列相关的滞后期数，ρ2k是滞后期k的相关性，Q∗(m)∼χ2α有m个自由度。

检查

下面是AAPL对数收益时间序列及其ACF，这里我们要寻找显著的滞后期（也可以运行pacf）或存在序列自相关。

通过观察ACF，水平序列（对数收益）并不是真正的自相关，但现在让我们看一下平方序列来检查序列依赖性。

我们可以看到，平方序列的ACF显示出显著的滞后。这是一个信号，说明我们应该在某个时候测试ARCH效应。

平稳性

我们可以看到，AAPL的对数回报在某种程度上是一个平稳的过程，所以我们将使用Augmented Dicky-Fuller检验（ADF）来正式检验平稳性。ADF是一个广泛使用的单位根检验，即平稳性。我们将使用12个滞后期，因为根据文献的建议，我们有每日数据。 何：存在单位根（系列是非平稳的

1.  
   ##
2.  
   ## Title:
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   ## Augmented Dickey-Fuller Test
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   ##
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   ## Test Results:
6.  
   ## PARAMETER:
7.  
   ## Lag Order: 12
8.  
   ## STATISTIC:
9.  
   ## Dickey-Fuller: -14.6203
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    ## P VALUE:
11.  
    ## 0.01
12.  
    ##
13.  
    ## Description:
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    ## Mon May 25 16:45:37 2020 by user: Florian

上面的P值为0.01，表明我们应该拒绝Ho，因此，该系列是平稳的。

结构突变检验

请注意，我从2008年底开始研究APPL序列。以避免08年大衰退，通常会在数据中产生结构性突变（即趋势的严重下降/跳跃）。我们将对结构性突变/变化进行Chow测试。 AAPL的日收益率没有结构性突变

该图显示，用于估计断点（BP）数量的BIC（黑线）是BIC线的最小值，所以我们可以确认没有结构性断点，因为最小值是零，即零断点。在预测时间序列时，断点非常重要。

估计

在这一节中，我们试图用auto.arima命令来拟合最佳arima模型，允许一个季节性差异和一个水平差异。

正如我们所知，{Yt}的一般ARIMA(p,d,q)。

根据auto.arima，最佳模型是ARIMA(3,0,2)，平均数为非零，AIC为-14781.55。我们的平均方程如下（括号内为SE）。

Auto.arima函数挑选出具有最低AIC的ARIMA(p,d,q)，其中。

其中Λθ是观察到的数据在参数的mle的概率。因此，如果Auto.arima函数运行N模型，其决策规则为AIC∗=min{AICi}Ni=1

诊断检查

我们可以看到，我们的ARIMA(3,0,2)的残差是良好的表现。它们似乎也有一定的正态分布

1.  
   ##
2.  
   ## Ljung-Box test
3.  
   ##
4.  
   ## data: Residuals from ARIMA(3,0,2) with non-zero mean
5.  
   ## Q* = 6.7928, df = 4, p-value = 0.1473
6.  
   ##
7.  
   ## Model df: 6. Total lags used: 10

现在我们将通过对我们的ARIMA(3,0,2)模型的平方残差应用Ljung-Box测试来检验ARCH效应。

1.  
   ##
2.  
   ## Box-Ljung test
3.  
   ##
4.  
   ## data: resid^2
5.  
   ## X-squared = 126.6, df = 12, p-value < 2.2e-16

我们可以看到，残差平方的 ACF 显示出许多显著的滞后期，因此我们得出结论，确实存在 ARCH 效应，我们应该对波动率进行建模。

使用 GARCH 建立波动率模型

上面将我们的平均数方程中的残差进行了平方，看看大的冲击是否紧随在其他大的冲击之后（无论哪个方向，即负的或正的），如果是这样，那么我们就有条件异方差，意味着我们有需要建模的非恒定方差。下面是一个GARCH(m,s)的样子。

其中{ϵ2t}mt=1是我们通常的特异性冲击，iid随机变量，即ϵ2t∼WN(0,σ2ϵ)。我们可以更紧凑地写成：

其中B是标准的后移算子Biϵ2t=ϵ2t-i，Biσ2t=σ2t-i。对于任何整数ii，以及α和β分别是度数为m和s的多项式

请注意，一个特殊情况是当s=0时，GARCH(m,0)被称为ARCH(m)。

当我说GARCH家族时，它表明模型有变化。

• SGARCH。普通GARCH
• EGARCH。指数GARCH，允许波动率不为负值（这迫使模型只输出正方差
• FGARCH。这是为长记忆模型准备的。它使用了被称为 ARFIMA 的 Fractionaly integrated ARIMA（即非整数整合）。
• GARCH-M：这是GARCH的均值，适合你的均值方程中有波动率例如CAPM的方程中有σ。
• GJR-GARCH。假设负面冲击和正面冲击之间存在不对称性（金融数据几乎都是这样）。

为收益率序列建立波动率模型包括四个步骤：

1. 通过测试数据中的序列依赖性来指定一个均值方程，如果有必要，为收益序列建立一个 计量经济学模型（例如，ARIMA 模型）来消除任何线性依赖。
2. 使用平均值方程的残差来测试ARCH效应。
3. 如果ARCH效应在统计上是显著的，就指定一个波动率模型，并对均值和波动率方程进行联合估计。
4. 仔细检查拟合的模型，必要时对其进行改进。

一个简单的 GARCH 模型有以下成分。

均值: 

波动率方程:  

误差假设: 

1.  
    
2.  
   #以下命令将计算GARCH(m,s)。请记住，对于某些m和s的组合，它可能不会收敛。
3.  
    
4.  
   garchlist(model="sGARCH", #其他选项有egarch, fgarch等。
5.  
   garchOrder=c(1,2)), #你可以在这里修改GARCH(m,s)的阶数
6.  
   mean.model , #指定你的ARMA模型，暗示你的模型应该是平稳的。
7.  
   distribution.model #其他分布是 "std "代表t分布，"ged "代表一般误差分布
8.  
    

我们的波动率方程由GARCH(1,2)给出，AIC:-5.5277（注意GARCH可能无法收敛）。

下面是使用我们的波动率模型对波动率进行的预测。这看起来是一个合理的波动率预测，但是你想改进你的模型。

现在让我们使用rugarch的标准功能，使用估计的GARCH(1,2)模型来产生σt的滚动预测，并将它们与|rt|作对比。

最后，我们可以手动编写代码来查看随时间变化的波动率和对数收益率rt，如下图。

1.  
    
2.  
   # 这将有助于在对数收益率上绘制sigma随时间变化的图。
3.  
    
4.  
   sigma.t #这是你的波动率序列
5.  
    
6.  
   ggplot()
7.  
   geom_line(aes(x=as.numeric(
8.  
    
9.  
   theme_bw()+
10.  
     

结论

事实证明，GARCH系列是所谓确定性波动率模型的一部分。还有一个家族叫做随机波动率模型，它允许模型中存在随机性，而GARCH假设我们对波动率进行了完美的建模（如果你对你所分析的序列非常熟悉，这可能是一个好的假设，但实际情况并不总是这样）。随机波动率模型通常是用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）和准蒙特卡洛方法来估计的，如果你学过随机过程的相关内容，你会知道这是什么。

参考文献

• Tsay, R. (2010). Analysis of Financial Time Series. (3rd ed., Wiley Series in Probability and Statistics).

• Brockwell, P., & Davis, Richard A. (2016). Introduction to time series and forecasting (3rd ed., Springer texts in statistics). New York: Springer.

• Racine, Jeffrey S. (2019) Reproducible Econometrics Using R (Oxford)

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