R语言中统计分布和模拟

前言

  很多应用都需要随机数。像interlink connection，密码系统、视频游戏、人工智能、优化、问题的初始条件，金融等都需要生成随机数。但实际上目前我们并没有“真正”的随机数生成器，尽管有一些伪随机数生成器也是非常有效的。

目录

 1. 概率统计分布概述

 2. 随机函数模拟介绍

 3. 密度函数模拟介绍

 4. 分布函数模拟介绍

 5. 分位数函数模拟介绍

 6. 函数模拟举例

1. 概率统计分布概述

  各种统计分布在R中的名称，这张表取自《An Introduction to R》中概率分布一章，基本涵盖了R中所有的概率函数。

  R给出了详尽的统计表。R 还提供了相关函数来 计算累计概率分布函数 X <= x)， 概率密度函数和分位数函数(给定 q，符合 P(X <= x) > q的最小x就是对应的分位数)， 和 基于概率分布的计算机模拟。

  概率函数介绍

  在R中各种概率函数都有统一的形式，即一套统一的 前缀+分布函数名：

   d 表示密度函数（density）；

   p 表示分布函数（生成相应分布的累积概率密度函数）；

   q 表示分位数函数，能够返回特定分布的分位数（quantile）；

   r 表示随机函数，生成特定分布的随机数（random）。

  每一种分布有四个函数：d―density（密度函数），p―分布函数，q―分位数函数，r―随机数函数。比如，正态分布的这四个函数为dnorm，pnorm，qnorm，rnorm。dnorm 表示正态分布密度函数；pnorm 表示正态分布累积概率密度函数；qnorm 表示正态分布分位数函数（即正态累积概率密度函数的逆函数）；rnorm 表示正态分布随机数。各分布后缀，前面加前缀d、p、q或r就构成函数名。

  不同的名字前缀表示不同的含义，d表示概率密度函数，p 表示 累积分布函数（cumulative distribution function，CDF），q 表 示分位函数以及 r 表示随机模拟(random deviates)或者随机数发生器。 dxxx 的第一个参数是x，pxxx是q， qxxx 是 p，和rxxx的是n(rhyper 和 rwilcox例外，二者的参数是 nn)。偏态指数（non-centrality parameter） ncp 现在仅用于累积分布函数，大多数概率密度函数 和部分其他情况：更细节的内容可以参考帮助文档。

  pxxx 和 qxxx 函数都有逻辑 参数 lower.tail 和 log.p。dxxx 也有一个逻辑函数 log。 它们可以用来计算所要的函数值。 例如可以通过下式计算累计(“积分的”) 风险 （hazard）函数。

	- pxxx(t, ..., lower.tail = FALSE, log.p = TRUE)

  它们也可以直接用来计算更精确的对数似然值 (dxxx(..., log = TRUE))。

  此外还有函数 ptukey 和 qtukey 计算 来自正态分布的样本的标准化全距（studentized range） 的分布。

  这里是一些例子：

	> ## t分布的双侧p值
	> 2*pt(-2.43, df = 13)
	> ## F(2, 7)分布的上1%分位数
	> qf(0.99, 2, 7)

2. 随机函数模拟介绍

  各种分布的随机数生存函数

	rnorm(n, mean=0, sd=1)   #正态分布
	rexp(n, rate=1)   #指数
	rgamma(n, shape, rate=1, scale=1/rate)   #r 分布
	rpois(n, lambda)   #泊松
	rt(n, df, ncp)   #t 分布
	rf(n, df1, df2, ncp)   #f 分布
	rchisq(n, df, ncp=0)   #卡方分布
	rbinom(n, size, prob)   #二项分布
	rweibull(n, shape, scale=1)   #weibull 分布
	rbata(n, shape1, shape2)   #bata 分布

  均匀分布随机数

  R语言生成均匀分布随机数的函数是runif()，句法是：runif(n,min=0,max=1)。 n表示生成的随机数数量，min表示均匀分布的下限，max表示均匀分布的上限；若省略参数min、max,则默认生成[0,1]上的均匀分布随机数。

	# 例1：生成5个[0,1]的均匀分布的随机数
	> runif(5,0,1)     
	[1] 0.5993 0.7391 0.2617 0.5077 0.7199
	# 默认生成5个[0,1]上的均匀分布随机数
	> runif(5)         
	[1] 0.2784 0.7755 0.4107 0.8392 0.7455 
	
	# 例2：随机产生100个均匀分布随机数，作其概率直方图，再添加均匀分布的密度函数线，程序如下：
	> x=runif(100) 
	> hist(x,prob=T,col=gray(.9),main="uniform on [0,1]")
	# 添加均匀分布的密度函数线
	> curve(dunif(x,0,1),add=T)  

  正态分布随机数

  正态分布随机数的生成函数是 rnorm() 。句法是：rnorm（n,mean=0,sd=1）。其中n表示生成的随机数数量，mean是正态分布的均值，默认为0，sd是正态分布的标准差，默认时为1。

	# 例:随机产生100个正态分布随机数，作其概率直方图，再添加正态分布的密度函数线
	
	> x=rnorm(100) 
	> hist(x,prob=T,main="normal mu=0,sigma=1") 
	> curve(dnorm(x),add=T)

  二项分布随机数

  二项分布是指n次独立重复贝努力试验成功的次数的分布，每次贝努力试验的结果只有两个，成功和失败，记成功的概率为p。生成二项分布随机数的函数是：rbinom() 。句法是：rbinom(n,size,prob)。n表示生成的随机数数量，size表示进行贝努力试验的次数，prob表示一次贝努力试验成功的概率。

	# 例：产生100个n为10,15,50，概率p为0.25的二项分布随机数：
	
	> par(mfrow=c(1,3)) 
	> p=0.25 
	> for( n in c(10,20,50)) {  
		x=rbinom(100,n,p) 
	   	hist(x,prob=T,main=paste("n =",n)) 
	   	xvals=0:n 
	   	points(xvals,dbinom(xvals,n,p),type="h",lwd=3) 
	  } 
	> par(mfrow=c(1,1))

  指数分布随机数

  R生成指数分布随机数的函数是：rexp()。其句法是：rexp(n,lamda=1)。 n表示生成的随机数个数，lamda=1/mean 。

	# 例：生成100个均值为10的指数分布随机数
	> x=rexp(100,1/10)     
	> hist(x,prob=T,col=gray(0.9),main="均值为10的指数分布随机数") 
	# 添加指数分布密度线
	> curve(dexp(x,1/10),add=T) 
	
	# 例：生成5个指数分布随机数（应和下面举例）
	> rexp(5, rate=1)
	[1] 0.6626410 1.4266883 0.2150661 1.5788140 0.4469142

3. 密度函数模拟介绍

  以指数分布（R中函数名为exp）为例进行示范

  密度函数调用形式：

	dexp（x，rate）

  参数解释：x随机变量，rate为指数概率密度函数的参数λ

	## 例1：绘制0到4上，参数为1的指数分布的概率密度函数图像
	> x <- seq(0, 4, 0.5)
	> x
	[1] 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
	> y <- dexp(x, rate=1)
	> y
	[1] 1.00000000 0.60653066 0.36787944 0.22313016 0.13533528
	[6] 0.08208500 0.04978707 0.03019738 0.01831564
	> plot(x,y)
	> plot(x,y,type=\'l\')

4. 分布函数模拟介绍

  分布函数调用形式：

	pexp（x，rate, lower.tail =TRUE）

  参数解释：x随机变量，rate同上，参数lower.tail为一个逻辑值，TURE表示P（X ≤ x），也是默认值。

	## 例：求取上图中x=2左侧的概率密度函数曲线下方面积
	> pexp(2, rate=1)
	[1] 0.8646647

5. 分位数函数模拟介绍

  分位数函数调用形式：

	qexp（p，rate, lower.tail =True ）

  参数解释：p为概率值，其他同上

	## 例：求取参数为1的指数分布函数的85%分位数
	> qexp(0.85, rate=1)
	[1] 1.89712

6. 函数模拟举例

  例如：指定模拟次数m=100，样本量n=10，概率=0.25，如果要改变这些参数来重新进行模拟将会很麻烦，下面将展示如何将上面的程序形成一个模拟函数再进行模拟。

	> sim.clt <- function (m=100,n=10,p=0.25) { 
	     z = rbinom(m,n,p)                
	     x = (z-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))         
	     hist(x,prob=T,breaks=20,main=paste("n =",n,"p =",p)) 
	     curve(dnorm(x),add=T)              
	  } 
	> sim.clt()               # 默认 m=100，n=10，p=0.25 
	> sim.clt(1000)           # 取 m=1000，n=10，p=0.25 
	> sim.clt(1000,30)        # 取 m=1000，n=30，p=0.25 
	> sim.clt(1000,30,0.5)    # 取 m=1000，n=30，p=0.5 

  模拟函数的建立方法

  若每次模拟都要编写一个循环，非常麻烦。sim.fun()就是专门用来解决这类问题的。只需要编写一个用来生成随机数的函数，剩下的工作就交给sim.fun来完成。

	# m 模拟样本次数，f需模拟的函数
	sim.fun <-function (m,f,...) { 
	    sample <-1:m 
	    for (i in 1:m) { 
	        sample[i] <-f(...) 
	     } 
	    sample 
	} 

  正态概率模拟：

  能比直方图更好判定随机数是否近似服从正态分布的是正态概率图。基本思想：作实际数据的分位数与正态分布数据的分位数的散点图，也就是作样本分位数与理论分位数的散点图。

  二项分布模拟：

  先编写一个函数用来生成一个二项分布随机的标准化值。

	> f <- function(n=10,p=0.5){s=rbinom(1,n,p); (s-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)) }
	> xf  <- sim.fun(1000,f)       # 模拟1000个二项随机数
	> hist(x,prob=T)

  均匀分布来模拟中心极限定理：

	> f <- function(n=10) { mean(runif(n)-1/2) / (1/sqrt(12*n)) }
	> x <- sim.fun(1000,f)        # 模拟1000个均匀随机数
	> hist(x,prob=T) 

  正态分布：

	> f <- function(n=10,mu=0,sigma=1){ r=rnorm(n,mu,sigma); (mean(r)-mu)/(sigma/sqrt(n)) }
	
	> x <- sim.fun(1000,f)          # 模拟1000个样本量为10的N(0,1)随机数
	> hist(x,breaks=10,prob=T)
	
	> x <- sim.fun(1000,f,30,5,2)   # 模拟1000个样本量为30的N(5,4)随机数
	> hist(x,breaks=10,prob=T)