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拓端tecdat|R语言中的Stan概率编程MCMC采样的贝叶斯模型

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概率编程使我们能够实现统计模型，而不必担心技术细节。这对于基于MCMC采样的贝叶斯模型特别有用。

stan简介

Stan是用于贝叶斯推理的C ++库。它基于No-U-Turn采样器（NUTS），该采样器用于根据用户指定的模型和数据估计后验分布。使用Stan执行分析涉及以下步骤：

使用Stan建模语言指定统计模型。通常通过专用的.stan 文件完成此操作。
准备要提供给模型的数据。
使用该stan 函数从后验分布中采样。
分析结果。

在本文中，我将通过两个层次模型展示Stan的用法。我将使用第一个模型讨论Stan的基本功能，并使用第二个示例演示更高级的应用程序。

学校数据集

我们要使用的第一个数据集是学校的数据集。该数据集衡量了教练计划对大学入学考试（在美国使用的学业能力测验（SAT））的影响。数据集如下所示：

正如我们所看到的，SAT并没有兑现其诺言：对于八所学校中的大多数，短期教练的确提高了SAT分数。对于此数据集，我们有兴趣估算与每所学校相关的真实效果大小。可以使用两种替代方法。首先，我们可以假设所有学校彼此独立。但是，这将导致难以解释的估计，因为学校的95％的后验间隔由于高标准误差而在很大程度上重叠。第二，假设所有学校的真实效果都相同，则可以汇总所有学校的数据。但是，这也是不合理的，因为应该有针对学校的效果（例如，不同的老师和学生）。

因此，需要另一个模型。分层模型的优点是可以合并来自所有八所学校（实验）的信息，而无需假定它们具有共同的真实效果。我们可以通过以下方式指定层次贝叶斯模型：

根据该模型，教练的效果遵循正态分布，其均值是真实效果θjθj，其标准偏差为σjσj（从数据中得知）。真正的影响θjθj遵循参数μμ和ττ的正态分布。

定义Stan模型文件

在指定了要使用的模型之后，我们现在可以讨论如何在Stan中指定此模型。在为上述模型定义Stan程序之前，让我们看一下Stan建模语言的结构。

变量

在Stan中，可以通过以下方式定义变量：

int<lower=0> n; # lower bound is 0
int<upper=5> n; # upper bound is 5
int<lower=0,upper=5> n; # n is in [0,5]

注意，如果先验已知变量，则应指定变量的上下边界。

多维数据可以通过方括号指定：

vector[n] numbers; // a vector of length n
real[n] numbers;  // an array of floats with length n
matrix[n,n] matrix; // an n times n matrix

程序

Stan中使用以下程序：

data：用于指定以贝叶斯规则为条件的数据
转换后的数据：用于预处理数据
参数（必填）：用于指定模型的参数
转换后的参数：用于计算后验之前的参数处理
模型（必填）：用于指定模型本身
生成数量：用于对结果进行后处理

对于模型程序块，可以两种等效方式指定分布。第一个，使用以下统计符号：

y ~ normal(mu, sigma); # y follows a normal distribution

第二种方法使用基于对数概率密度函数（lpdf）的程序化表示法：

target += normal_lpdf(y | mu, sigma); # increment the normal log density

Stan支持大量的概率分布。通过Stan指定模型时，该 lookup 函数会派上用场：它提供从R函数到Stan函数的映射。考虑以下示例：

library(rstan) # load stan package
lookup(rnorm)

##     StanFunction             Arguments ReturnType Page
## 355   normal_rng (real mu, real sigma)       real  494

在这里，我们看到rnorm R 中的等价 normal_rng 于Stan。

模型

现在，我们了解了Stan建模语言的基础知识，我们可以定义模型，并将其存储在一个名为的文件中 schools.stan：

注意，θ 永远不会出现在参数中。这是因为我们没有显式地对θθ进行建模，而是对ηη（各个学校的标准化效果）进行了建模。然后，根据μμ，ττ和ηη在变换后的参数部分构造θθ 。此参数化使采样器更高效。

准备数据进行建模

在适合模型之前，我们需要将输入数据编码为一个列表，其参数应与Stan模型的数据部分中的条目相对应。对于学校数据，数据如下：

schools.data <- list(
  n = 8,
  y = c(28,  8, -3,  7, -1,  1, 18, 12),
  sigma = c(15, 10, 16, 11,  9, 11, 10, 18)
)

从后验分布抽样

我们可以使用stan 函数从后验分布中采样，该函数执行以下三个步骤：

它将模型规范转换为C ++代码。
它将C ++代码编译为共享对象。
它根据指定的模型，数据和设置从后验分布中采样。

如果 rstan_options(auto_write = TRUE) 已在活动的R会话中执行，则相同模型的后续调用将比第一次调用快得多，因为该 stan 函数随后跳过了前两个步骤（转换和编译模型）。此外，我们将设置要使用的内核数：

options(mc.cores = parallel::detectCores()) # parallelize
rstan_options(auto_write = TRUE)  # store compiled stan model

现在，我们可以从后验中编译模型和样本。唯一需要的两个参数 stan 是模型文件的位置和要馈送到模型的数据。此处显示的其他参数仅用于概述可能的选项：

模型解释

我们将首先对模型进行基本解释，然后研究MCMC程序。

基本模型解释

要使用拟合模型执行推断，我们可以使用 print 函数。

print(fit1) # optional parameters: pars, probs

## Inference for Stan model: schools.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1; 
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
## 
##            mean se_mean   sd   2.5%    25%    50%    75%  97.5% n_eff Rhat
## mu         7.67    0.15 5.14  -2.69   4.42   7.83  10.93  17.87  1185    1
## tau        6.54    0.16 5.40   0.31   2.52   5.28   9.05  20.30  1157    1
## eta[1]     0.42    0.01 0.92  -1.47  -0.18   0.44   1.03   2.18  4000    1
## eta[2]     0.03    0.01 0.87  -1.74  -0.54   0.03   0.58   1.72  4000    1
## eta[3]    -0.18    0.02 0.92  -1.95  -0.81  -0.20   0.45   1.65  3690    1
## eta[4]    -0.03    0.01 0.92  -1.85  -0.64  -0.02   0.57   1.81  4000    1
## eta[5]    -0.33    0.01 0.86  -2.05  -0.89  -0.34   0.22   1.43  3318    1
## eta[6]    -0.20    0.01 0.87  -1.91  -0.80  -0.21   0.36   1.51  4000    1
## eta[7]     0.37    0.02 0.87  -1.37  -0.23   0.37   0.96   2.02  3017    1
## eta[8]     0.05    0.01 0.92  -1.77  -0.55   0.05   0.69   1.88  4000    1
## theta[1]  11.39    0.15 8.09  -2.21   6.14  10.30  15.56  30.22  2759    1
## theta[2]   7.92    0.10 6.25  -4.75   4.04   8.03  11.83  20.05  4000    1
## theta[3]   6.22    0.14 7.83 -11.41   2.03   6.64  10.80  20.97  3043    1
## theta[4]   7.58    0.10 6.54  -5.93   3.54   7.60  11.66  20.90  4000    1
## theta[5]   5.14    0.10 6.30  -8.68   1.40   5.63   9.50  16.12  4000    1
## theta[6]   6.08    0.10 6.62  -8.06   2.21   6.45  10.35  18.53  4000    1
## theta[7]  10.60    0.11 6.70  -0.94   6.15  10.01  14.48  25.75  4000    1
## theta[8]   8.19    0.14 8.18  -8.13   3.59   8.01  12.48  25.84  3361    1
## lp__     -39.47    0.07 2.58 -45.21 -41.01 -39.28 -37.70 -34.99  1251    1
## 
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Thu Nov 29 11:17:50 2018.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at 
## convergence, Rhat=1).

在此，行名称表示估计的参数：mu是后验分布的平均值，而tau是其标准偏差。eta和theta的条目分别表示矢量ηη和θθ的估计值。该 LP 条目显示日志密度，这通常是不相关的。这些列表示计算值。百分比表示可靠的时间间隔。例如，指导的总体效果的95％可信区间μμ为[-1.27,18.26] [-1.27,18.26]。由于我们不确定平均值，因此θjθj的95％可信区间也很宽。例如，对于第一所学校，95％可信区间为[−2.19,32.33] [− 2.19,32.33]。

我们可以使用以下plot 函数来可视化估计中的不确定性：

黑线表示95％的间隔，而红线表示80％的间隔。圆圈表示平均值的估计。

我们可以使用以下extract 函数获取生成的样本：

# retrieve the samples
samples <- extract(fit1, permuted = TRUE) # 1000 samples per parameter
mu <- samples$mu  # samples of mu only

MCMC诊断

通过绘制采样过程的轨迹图，我们可以确定采样期间是否出了问题。例如，如果链条在一个位置停留的时间过长或在一个方向上走了太多步，就是这种情况。我们可以使用以下traceplot 函数绘制模型中使用的四个链的轨迹：

# diagnostics:
traceplot(fit1, pars = c("mu", "tau"), inc_warmup = TRUE, nrow = 2)

要从各个马尔可夫链中获取样本，我们可以extract 再次使用该函数：

##          parameters
## chains           mu       tau     eta[1]     eta[2]     eta[3]     eta[4]
##   chain:1  1.111120  2.729124 -0.1581242 -0.8498898  0.5025965 -1.9874554
##   chain:2  3.633421  2.588945  1.2058772 -1.1173221  1.4830778  0.4838649
##   chain:3 13.793056  3.144159  0.6023924 -1.1188243 -1.2393491 -0.6118482
##   chain:4  3.673380 13.889267 -0.0869434  1.1900236 -0.0378830 -0.2687284
##          parameters
## chains        eta[5]     eta[6]     eta[7]      eta[8]   theta[1]
##   chain:1  0.3367602 -1.1940843  0.5834020 -0.08371249  0.6795797
##   chain:2 -1.8057252  0.7429594  0.9517675  0.55907356  6.7553706
##   chain:3 -1.5867789  0.6334288 -0.4613463 -1.44533007 15.6870727
##   chain:4  0.1028605  0.3481214  0.9264762  0.45331024  2.4657999
##          parameters
## chains     theta[2] theta[3]    theta[4]  theta[5]  theta[6]  theta[7]
##   chain:1 -1.208335 2.482769 -4.31289292  2.030181 -2.147684  2.703297
##   chain:2  0.740736 7.473028  4.88612054 -1.041502  5.556902  6.097494
##   chain:3 10.275294 9.896345 11.86930758  8.803971 15.784656 12.342510
##   chain:4 20.201935 3.147213 -0.05906019  5.102037  8.508530 16.541455
##          parameters
## chains     theta[8]      lp__
##   chain:1 0.8826584 -41.21499
##   chain:2 5.0808317 -41.17178
##   chain:3 9.2487083 -40.35351
##   chain:4 9.9695268 -36.34043

为了对采样过程进行更高级的分析，我们可以使用该 shinystan 软件包。使用该软件包，可以通过以下方式启动Shiny应用程序来分析拟合模型：

library(shinystan)
launch_shinystan(fit1)

层次回归

现在，我们对Stan有了基本的了解，我们可以深入研究更高级的应用程序：让我们尝试一下层次回归。在常规回归中，我们对以下形式的关系进行建模

此表示假设所有样本都具有相同的分布。如果存在一组样本，那么我们就会遇到问题，因为将忽略组内和组之间的潜在差异。

另一种选择是为每个组建立一个回归模型。但是，在这种情况下，估计单个模型时，小样本量会带来问题。

层次回归是两个极端之间的折衷。该模型假设组是相似的，但存在差异。

假设每个样本都属于KK组之一。然后，层次回归指定如下：

其中YkYk是第kk组的结果，αkαk是截距，XkXk是特征，β（k）β（k）表示权重。层次模型不同于其中YkYk分别适合每个组的模型，因为假定参数αkαk和β（k）β（k）源自共同的分布。

数据集

分层回归的经典示例是鼠数据集。该纵向数据集包含5周内测得的鼠体重。让我们加载数据：

##   day8 day15 day22 day29 day36
## 1  151   199   246   283   320
## 2  145   199   249   293   354
## 3  147   214   263   312   328
## 4  155   200   237   272   297
## 5  135   188   230   280   323
## 6  159   210   252   298   331

让我们调查数据：


library(ggplot2)
ggplot(ddf, aes(x = variable, y = value, group = Group)) + geom_line() + geom_point()

数据显示线性增长趋势对于不同的大鼠非常相似。但是，我们还看到，大鼠的初始体重不同，需要不同的截距，并且生长速度也需要不同的斜率。因此，分层模型似乎是适当的。

层次回归模型的规范

该模型可以指定如下：

第i个大鼠的截距由αiαi表示，斜率由βiβi表示。注意，测量时间的中心是x = 22x = 22，它是时间序列数据的中值测量值（第22天）。

现在，我们可以指定模型并将其存储在名为的文件中 rats.stan：

请注意，模型代码估算的是方差（ sigmasq 变量）而不是标准偏差。

资料准备

为了准备模型数据，我们首先将测量点提取为数值，然后将所有内容编码为列表结构：

days <- as.numeric(regmatches(colnames(df), regexpr("[0-9]*$", colnames(df))))
rat.data <- list(N = nrow(df), T = ncol(df), x = days,
                 y = df, xbar = median(days))

拟合回归模型

现在，我们可以为老鼠体重数据集拟合贝叶斯层次回归模型：

rat.model <- stan(
  file = "rats.stan",
  data = rat.data)
# model contains estimates for intercepts (alpha) and slopes (beta)

层次回归模型的预测

在确定了每只大鼠的αα和ββ之后，我们现在可以估计任意时间点单个大鼠的体重。在这里，我们有兴趣寻找从第0天到第100天的大鼠体重。


ggplot(pred.df[pred.df$Rat %in% sel.rats, ], 
       aes(x = Day, y = Weight, group = Rat, 
           ymin = Lwr_Weight, ymax = Upr_Weight)) +   
    geom_line()  +
    geom_errorbar(width=0.2, size=0.5, color="blue")

与原始数据相比，该模型的估计是平滑的，因为每条曲线都遵循线性模型。研究最后一个图中所示的置信区间，我们可以看到方差估计是合理的。我们对采样时（第8至36天）的老鼠体重充满信心，但是随着我们远离采样区域，不确定性会增加。