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本文将使用三种方法使模型适合曲线数据：1）多项式回归；2）用多项式样条进行B样条回归；3）进行非线性回归。在此示例中，这三个中的每一个都将找到基本相同的最佳拟合曲线。

多项式回归

多项式回归实际上只是多元回归的一种特殊情况。

对于线性模型（lm），调整后的R平方包含在summary（model）语句的输出中。AIC是通过其自己的函数调用AIC（model）生成的。使用将方差分析函数应用于两个模型进行额外的平方和检验。

对于AIC，越小越好。对于调整后的R平方，越大越好。将模型a与模型b进行比较的额外平方和检验的非显着p值表明，带有额外项的模型与缩小模型相比，并未显着减少平方误差和。也就是说，p值不显着表明带有附加项的模型并不比简化模型好。



Data = read.table(textConnection(Input),header=TRUE)


### Change Length from integer to numeric variable
###   otherwise, we will get an integer overflow error on big numbers

Data$Length = as.numeric(Data$Length)


### Create quadratic, cubic, quartic variables

library(dplyr)

Data = 
mutate(Data, 
       Length2 = Length*Length,
       Length3 = Length*Length*Length,
       Length4 = Length*Length*Length*Length)

library(FSA)

headtail(Data)

 

   Length Clutch Length2  Length3     Length4

1     284      3   80656 22906304  6505390336

2     290      2   84100 24389000  7072810000

3     290      7   84100 24389000  7072810000

16    323     13  104329 33698267 10884540241

17    334      2  111556 37259704 12444741136

18    334      8  111556 37259704 12444741136

定义要比较的模型

model.1 = lm (Clutch ~ Length,                               data=Data)
model.2 = lm (Clutch ~ Length + Length2,                     data=Data)
model.3 = lm (Clutch ~ Length + Length2 + Length3,           data=Data)
model.4 = lm (Clutch ~ Length + Length2 + Length3 + Length4, data=Data)

生成这些模型的模型选择标准统计信息

summary(model.1)

 

Coefficients:

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)  -0.4353    17.3499   -0.03     0.98

Length        0.0276     0.0563    0.49     0.63

 

Multiple R-squared:  0.0148,  Adjusted R-squared:  -0.0468

F-statistic: 0.24 on 1 and 16 DF,  p-value: 0.631

 

 

AIC(model.1)

 

[1] 99.133

 

 

summary(model.2)

 

Coefficients:

             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  

(Intercept) -9.00e+02   2.70e+02   -3.33   0.0046 **

Length       5.86e+00   1.75e+00    3.35   0.0044 **

Length2     -9.42e-03   2.83e-03   -3.33   0.0045 **

 

Multiple R-squared:  0.434,   Adjusted R-squared:  0.358

F-statistic: 5.75 on 2 and 15 DF,  p-value: 0.014

 

 

AIC(model.2)

 

[1] 91.16157

 

 

anova(model.1, model.2)

 

Analysis of Variance Table

 

  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F  Pr(>F)  

1     16 186.15                              

2     15 106.97  1    79.178 11.102 0.00455 **

其余模型继续此过程

四个多项式模型的模型选择标准。模型2的AIC最低，表明对于这些数据，它是此列表中的最佳模型。同样，模型2显示了最大的调整后R平方。最后，额外的SS测试显示模型2优于模型1，但模型3并不优于模型2。所有这些证据表明选择了模型2。
模型	AIC	调整后的R平方	p值
1	99.1	-0.047
2	91.2	0.36	0.0045
3	92.7	0.33	0.55
4	94.4	0.29	0.64

对比与方差分析

AIC，AICc或BIC中的任何一个都可以最小化以选择最佳模型。



 

$Fit.criteria

  Rank Df.res   AIC   AICc    BIC R.squared Adj.R.sq p.value Shapiro.W Shapiro.p

1    2     16 99.13 100.80 101.80   0.01478  -0.0468 0.63080    0.9559    0.5253

2    3     15 91.16  94.24  94.72   0.43380   0.3583 0.01403    0.9605    0.6116

3    4     14 92.68  97.68  97.14   0.44860   0.3305 0.03496    0.9762    0.9025

4    5     13 94.37 102.00  99.71   0.45810   0.2914 0.07413    0.9797    0.9474

 

 

  Res.Df    RSS Df Sum of Sq       F   Pr(>F)  

1     16 186.15                                

2     15 106.97  1    79.178 10.0535 0.007372 **  ## Compares m.2 to m.1

3     14 104.18  1     2.797  0.3551 0.561448     ## Compares m.3 to m.2

4     13 102.38  1     1.792  0.2276 0.641254     ## Compares m.4 to m.3

研究最终模型



Coefficients:

             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  

(Intercept) -9.00e+02   2.70e+02   -3.33   0.0046 **

Length       5.86e+00   1.75e+00    3.35   0.0044 **

Length2     -9.42e-03   2.83e-03   -3.33   0.0045 **

 

Multiple R-squared:  0.434,   Adjusted R-squared:  0.358

F-statistic: 5.75 on 2 and 15 DF,  p-value: 0.014

 

 

 

Anova Table (Type II tests)

 

Response: Clutch

          Sum Sq Df F value Pr(>F)  

Length      79.9  1    11.2 0.0044 **

Length2     79.2  1    11.1 0.0045 **

Residuals  107.0 15

模型的简单图解

检查模型的假设

线性模型中残差的直方图。这些残差的分布应近似正态。

残差与预测值的关系图。残差应无偏且均等。

###通过以下方式检查其他模型：

具有多项式样条的B样条回归

B样条回归使用线性或多项式回归的较小部分。它不假设变量之间存在线性关系，但是残差仍应是独立的。该模型可能会受到异常值的影响。

### --------------------------------------------------------------
### B-spline regression, turtle carapace example
 ### --------------------------------------------------------------


summary(model)                         # Display p-value and R-squared

 

Residual standard error: 2.671 on 15 degrees of freedom

Multiple R-squared:  0.4338,  Adjusted R-squared:  0.3583

F-statistic: 5.747 on 2 and 15 DF,  p-value: 0.01403

模型的简单图解

检查模型的假设

线性模型中残差的直方图。这些残差的分布应近似正态。

残差与预测值的关系图。残差应无偏且均等。

非线性回归

非线性回归可以将各种非线性模型拟合到数据集。这些模型可能包括指数模型，对数模型，衰减曲线或增长曲线。通过迭代过程，直到一定的收敛条件得到满足先后找到更好的参数估计。

在此示例中，我们假设要对数据拟合抛物线。

数据中包含变量（Clutch和Length），以及我们要估计的参数（Lcenter，Cmax和a）。

没有选择参数的初始估计的固定过程。通常，参数是有意义的。这里Lcenter 是顶点的x坐标，Cmax是顶点的y坐标。因此我们可以猜测出这些合理的值。尽管我们知道参数a应该是负的，因为抛物线向下打开。

因为nls使用基于参数初始估计的迭代过程，所以如果估计值相差太远，它将无法找到解决方案，它可能会返回一组不太适合数据的参数估计。绘制解决方案并确保其合理很重要。

如果您希望模型具有整体p值，并且模型具有伪R平方，则需要将模型与null模型进行比较。从技术上讲，要使其有效，必须将null模型嵌套在拟合模型中。这意味着null模型是拟合模型的特例。

对于没有定义r平方的模型，已经开发了各种伪R平方值。

### --------------------------------------------------------------
### Nonlinear regression, turtle carapace example
### --------------------------------------------------------------


Data = read.table(textConnection(Input),header=TRUE)



 

Parameters:

         Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   

Lcenter 310.72865    2.37976  130.57  < 2e-16 ***

Cmax     10.05879    0.86359   11.65  6.5e-09 ***

a        -0.00942    0.00283   -3.33   0.0045 **

确定总体p值和伪R平方



anova(model, model.null)

 

  Res.Df Res.Sum Sq Df  Sum Sq F value  Pr(>F) 

1     15     106.97                            

2     17     188.94 -2 -81.971   5.747 0.01403 *

 

 

$Pseudo.R.squared.for.model.vs.null

                             Pseudo.R.squared

McFadden                             0.109631

Cox and Snell (ML)                   0.433836

Nagelkerke (Cragg and Uhler)         0.436269

确定参数的置信区间




              2.5 %        97.5 %
Lcenter 305.6563154 315.800988774
Cmax      8.2180886  11.899483768
a        -0.0154538  -0.003395949




------
Bootstrap statistics
            Estimate  Std. error
Lcenter 311.07998936 2.872859816
Cmax     10.13306941 0.764154661
a        -0.00938236 0.002599385

------
Median of bootstrap estimates and percentile confidence intervals
               Median         2.5%         97.5%
Lcenter 310.770796703 306.78718266 316.153528168
Cmax     10.157560932   8.58974408  11.583719723
a        -0.009402318  -0.01432593  -0.004265714

模型的简单图解

检查模型的假设

线性模型中残差的直方图。这些残差的分布应近似正态。


plot(fitted(model), 
     residuals(model))

残差与预测值的关系图。残差无偏且均等。

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