编译最近的协同过滤算法皮尔逊相似度计算。下顺便研究R简单使用的语言。概率统计知识。
一、概率论和统计学概念复习
1）期望值（Expected Value）
由于这里每一个数都是等概率的。所以就当做是数组或向量中全部元素的平均数吧。能够使用R语言中函数mean()。
2）方差（Variance）
方差分为population variance整体方差和sample variance样本方差，差别是整体方差除以N，样本方差除以N-1。
数理统计中经常使用样本方差，R语言的var()函数计算的也是样本方差。
详细原因是样本方差是无偏的（Unbiased），想刨根问底能够Google一下。
3）标准差（Standard Variance）
非常easy。标准差就是方差的平方根。
R语言中函数为sd()。
4）协方差（Covariance）
，
也分成整体协方差和样本协方差，差别同上。
R语言中函数为cov()。注意向量中有空元素（NA）时，比如稀疏矩阵中的一行，则要cov(x,y, use=\'complete\')。
方差也能够看做是协方差的特例。也就是：var(x)=cov(x,x)。
这里仅仅列举了计算公式。看着有些头晕，详细还是看以下样例吧。一看就懂了。
二、类似度计算在协同过滤推荐算法中的地位
在协同过滤推荐算法中，无论是基于用户（User-based）还是基于物品（Item-based），都要通过计算用户或物品间的类似度，得到离线模型（训练学习过程）。
之后再利用排序和加权算法得到终于的推荐物品Top-N列表。
不同类似度算法的选择对终于推荐结果会产生非常大的影响。
1）余弦类似度（Cosine-based Similiarity）
2）相关性类似度（Correlation-based Similiarity）
这样的类似度计算使用的算法就是皮尔森。
3）修正余弦类似度（Adjusted Cosine-based Similiarity）
三、R语言入门简单介绍
Windows下的R语言安装包地址为：http://cran.r-project.org/bin/windows/base/
下载exe后直接安装后，执行交互控制台就能够使用了。
经常使用的函数都能够从网上中查找到：http://jiaoyan.org/r/?page_id=4100
要习惯的一点是。R语言的表达方式，比如在控制台输入：
> x<-c(1:10)
> x-mean(x)
[1] -4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
[1] -4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
x-mean(x)的含义是都向量x中每一个元素都减去x的平均数mean(x)，能够说这样的表达方式高度抽象化。表现力非常强。
之后我们能够用其它函数对计算结果进行聚合：
> sum(x-mean(x))
[1] 0
四、皮尔森类似度(Pearson Similiarity)计算举例
以下以还有一篇文章中的用户-物品关系为例，说明一下皮尔森类似度的计算过程。
皮尔森类似度的原始计算公式为： ，不继续展开化简。
1）定义用户数组（向量）
user1<-c(5.0, 3.0, 2.5)
user5<-c(4.0, 3.0, 2.0)
2）计算方差
var(user1)=sum((user1-mean(user1))^2)/(3-1)=1.75
var(user2)=sum((user5-mean(user5))^2)/(3-1)=1
3）计算标准差
sd(user1)=sqrt(var(user1))=1.322876
sd(user5)=sqrt(var(user5))=1
4）计算协方差
cov(user1, user5)
=sum((user1-mean(user1))*(user5-mean(user5)))/(3-1)
=1.25
5）计算类似度
cor(user1, user5)
=cov(user1, user5) / (sd(user1)*(sd(user5)))
=0.9449112
五、数学特性和存在问题
以下1）和2）整理自维基百科：
1）代数特性
皮尔逊相关系数的变化范围为-1到1。 系数的值为1意味着X 和 Y能够非常好的由直线方程来描写叙述。全部的数据点都非常好的落在一条 直线上，且 Y 随着 X 的添加而添加。
系数的值为−1意味着全部的数据点都落在直线上，且 Y 随着 X 的添加而降低。
系数的值为0意味着两个变量之间没有线性关系。
因两个变量的位置和尺度的变化并不会引起该系数的改变。即它该变化的不变量 (由符号确定)。
也就是说，我们假设把X移动到a + bX和把Y移动到c + dY，当中a、b、c和d是常数。
并不会改变两个变量的相关系数（该结论在整体和样本皮尔逊相关系数中都成立）。我们发现更一般的线性变换则会改变相关系数。
2）几何学含义
对于没有中心化的数据, 相关系数与两条可能的回归线y=gx(x) 和 x=gy(y) 夹角的余弦值一致。
对于中心化过的数据 (也就是说, 数据移动一个样本平均值以使其均值为0), 相关系数也能够被视作由两个随机变量 向量 夹角theta 的余弦值（见下方）。
3）存在问题
这也就是为什么会导致User1和User4更为类似的原因了，虽然User4仅仅对Item101和103评分，可是这两个评分形成的直线与User1形成的直线趋势更为接近。
同一时候还有一个问题是，假设一些几何变换不会影响相关系数，则评分的高低也被忽略掉了，仅仅是分数的趋潜在影响。当然，这是对于矩阵0和1用户-购买的物品矩阵没有效果。
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