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洛伦兹曲线来源于经济学，用于描述社会收入不均衡的现象。将收入降序排列，分别计算收入和人口的累积比例。
本文，我们研究收入和不平等。我们从一些模拟数据开始
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> (income=sort(income))
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[1] 19246 23764 53237 61696 218835
为什么说这个样本中存在不平等？如果我们看一下最贫穷者拥有的财富，最贫穷的人（五分之一）拥有5％的财富；倒数五分之二拥有11％，依此类推
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> income[1]/sum(income)
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[1] 0.0510
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> sum(income[1:2])/sum(income)
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[1] 0.1140
如果我们绘制这些值，就会得到 洛伦兹曲线
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> plot(Lorenz(income))
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> points(c(0:5)/5,c(0,cumsum(income)/sum(income))
现在，如果我们得到500个观测值。直方图是可视化这些数据分布的方法
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> summary(income)
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Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
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2191 23830 42750 77010 87430 2003000
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> hist(log(income),
在这里，我们使用直方图将样本可视化。但不是收入，而是收入的对数（由于某些离群值，我们无法在直方图上可视化）。现在，可以计算 基尼系数 以获得有关不平等的一些信息
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> gini=function(x){
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+ mu=mean(x)
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+ g=2/(n*(n-1)*mu)*sum((1:n)*sort(x))-(n+1)/(n-1)
实际上，没有任何置信区间的系数可能毫无意义。计算置信区间，我们使用boot方法
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> G=boot(income,gini,1000)
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> hist(G,col="light blue",border="white"
红色部分是90％置信区间，
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5% 95%
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0.4954235 0.5743917
还包括了一条具有高斯分布的蓝线，
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> segments(quantile(G,.05),1,quantile(G,.95),1,
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> lines(u,dnorm(u,mean(G),sd(G)),
另一个流行的方法是帕累托图（Pareto plot），我们在其中绘制了累积生存函数的对数与收入的对数，
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> plot(x,y)
如果点在一条直线上，则意味着可以使用帕累托分布来建模收入。
前面我们已经看到了如何获得洛伦兹曲线。实际上，也可以针对某些参数分布（例如，一些对数正态分布）获得Lorenz曲线，
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> lines(Lc.lognorm,param=1.5,col="red")
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> lines(Lc.lognorm,param=1.2,col="red")
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> lines(Lc.lognorm,param=.8,col="red")
在这里， 对数正态分布是一个很好的选择。帕累托分布也许不是：
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> lines(Lc.pareto,param=1.2,col="red")
实际上，可以拟合一些参数分布。
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shape rate
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1.0812757769 0.0140404379
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(0.0604530180) (0.0009868055)
现在，考虑两种分布，伽马分布和对数正态分布（适用于极大似然方法）
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shape rate
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1.0812757769 0.0014040438
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(0.0473722529) (0.0000544185)
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meanlog sdlog
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6.11747519 1.01091329
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(0.04520942) (0.03196789)
我们可以可视化密度
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> hist(income,breaks=seq(0,2005000,by=5000),
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+ col=rgb(0,0,1,.5),border="white",
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+ fit_g$estimate[2])/1e2
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+ fit_ln$estimate[2])/1e2
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> lines(u,v_g,col="red",lwd=2)
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> lines(u,v_ln,col=rgb(1,0,0,.4),lwd=2)
在这里，对数正态似乎是一个不错的选择。我们还可以绘制累积分布函数
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> plot(x,y,type="s",col="black",xlim=c(0,250000))
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+ fit_g$estimate[2])
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+ fit_ln$estimate[2])
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> lines(u,v_g,col="red",lwd=2)
现在，考虑一些更现实的情况，在这种情况下，我们没有来自调查的样本，但对数据进行了合并，
对数据进行建模，
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fit(ID=rep("Data",n),
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Time difference of 2.101471 secs
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for LNO fit across 1 distributions
我们可以拟合对数正态分布（有关该方法的更多详细信息，请参见 从合并收入估算不平等 的方法）
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> y2=N/sum(N)/diff(income_binned$low)
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+ fit_LN$parameters[2])
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> plot(u,v,col="blue",type="l",lwd=2)
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> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],0,
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+ income_binned$high[i],y2[i],col=rgb(1,0,0,.2),
在此，在直方图上（由于已对数据进行分箱，因此很自然地绘制直方图），我们可以看到拟合的对数正态分布很好。
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> v <- plnorm(u,fit_LN$parameters[1],
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+ fit_LN$parameters[2])
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> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],0,
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> for(i in 1:(n-1)) rect(income_binned$low[i],
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+ y1[i],income_binned$high[i],c(0,y1)[i],
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对于累积分布函数，我考虑了最坏的情况（每个人都处于较低的收入中）和最好的情况（每个人都具有最高可能的收入）。
也可以拟合广义beta分布
GB_family(ID=rep("Fake Data",n),
为了获得最佳模型，查看
> fits[,c("gini","aic","bic")]
结果很好，接下来看下真实数据：
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fit(ID=rep("US",n),
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+ distribution=LNO, distName="LNO"
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Time difference of 0.1855791 secs
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for LNO fit across 1 distributions
同样，我尝试拟合对数正态分布
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> v=dlnorm(u,fit_LN$parameters[1],
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> plot(u,v,col="blue",type="l",lwd=2)
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> for(i in 1:(n-1)) rect(data$low[i],
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但是在这里，拟合度很差。同样，我们可以估算广义beta分布
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>
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GB_family(ID=rep("US",n),
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+ ID_name="Country")
可以得到基尼指数， AIC 和BIC
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gini aic bic
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1 4.413431 825368.5 825407.3
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2 4.395080 825598.8 825627.9
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3 4.451881 825495.7 825524.8
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4 4.480850 825881.7 825910.8
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5 4.417276 825323.6 825352.7
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6 4.922122 832408.2 832427.6
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7 4.341036 827065.2 827084.6
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8 4.318667 826112.8 826132.2
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9 NA 831054.2 831073.6
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10 NA NA NA
看到最好的分布似乎是 广义伽玛分布。
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