2.1 点估计

点估计：对于给定的总体和样本，如果用某个统计量的值估计总体的某个未知参数，这种估计方法称为点估计，该统计量称为点估计量。例如用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差，都属于点估计。

常用的求点估计量的方法有：矩估计法、最大似然估计法，是考研究生要求掌握的方法，常用教材都有详细叙述。

对于同一个未知参数，常有多种估计方法，如何选择？这涉及到估计量的评价标准。常从以下三个不同角度考察。

2.1.1 无偏性

定义1.5 设总体含有未知参数，为来自总体的简单随机样本，又设为的一个估计量。若在给定范围内无论如何取值，总有，则称为的一个无偏估计量；若，则称为的一个有偏估计量。

注意无偏估计的含义是：由于样本的随机性，估计值有时候偏大，有时候偏小，多次估计的平均值才能靠近真实的未知参数值。

无论无偏估计还是有偏估计，可以统一使用"均方误差"MSE评价：

（2-1）

对于无偏估计，，但可能很大，果真如此，它就不是一个好的估计量。反之，对于有偏估计，虽然，但如果与相加之后仍然较小，则它就是一个较好的估计量。

例2.1 设总体，为来自总体的简单随机样本，欲估计总体均值（注意未知），比较以下三个点估计量的好坏：

，，

解 本例题给出了利用MSE评价点估计量的随机模拟方法。由于的总体均值为，因此我们可以先取定一个固定值，例如，然后在这个参数已知且固定的总体中抽取容量为20的样本，分别用样本值依照三种方法分别计算估计值（注意谁也别偷看底牌），看看哪种方法误差大，哪种方法误差小。一次估计的比较一般不能说明问题，正如低手射击也可能命中10环，高手射击也可能命中9环。如果连续射击1万次，比较总环数（或平均环数），多者一定是高手。同理，如果抽取容量为20的样本次，分别计算

小者为好。

N=10000; m=5; n=20;

mse1=0; mse2=0; mse3=0;

for k=1:N

x=chi2rnd(m,1,n);

m1=101*x(1)-100*x(2);

m2=median(x);

m3=mean(x);

mes1=mse1+(m1-m)^2;

mes2=mse2+(m2-m)^2;

mes3=mse3+(m3-m)^2;

end

mse1=mes1/N

mse2=mes2/N

mse3=mes3/N

以上程序保存为ex21.m，命令窗口中键入ex21，运算结果为

mse1 =

58.1581

mse2 =

7.8351e-005

mse3 =

9.4469e-006

可见第一个虽为无偏估计量，但MSE极大，表现很差。第二个虽为有偏估计，但表现与第三个相差不多，也是较好的估计量。另外，重复运行ex21，每次的结果是不同的，但优劣表现几乎是一致的。

例2.2 设为来自上服从均匀分布的总体的简单随机样本，容易得到未知参数的矩估计量，最大似然估计量，试用随机模拟的方法比较两者的优劣。

解 不妨设，以下程序给出了两者的评价。

s=5;

N=10000;

mse1=0; mse2=0;

for k=1:N

x=5.*rand(1,50);

s1=2*mean(x);

s2=max(x);

mse1=mse1+(s1-s)^2;

mse2=mse2+(s2-s)^2;

end

mse1=mse1/N; mse2=mse2/N;

[mse1,mse2]

参考运行结果： 0.1655 0.0186

本例中，最大似然估计精度较高。注意矩法估计量是无偏估计，本例中最大似然估计量显然是有偏估计，且一定是偏小的。

2.1.2 有效性

对于无偏估计，在中第二项为零，故比较两个无偏估计量，只需比较各自的方差即可。称方差小的无偏估计量为有效的，当然指的是两个无偏估计相对而言。

2.1.3 相合性

设为总体未知参数的估计量，如果对于任意给定的，总有

（2-2）

则称为的相合估计量。又若

（2-3）

则称为的强相合估计量。

相合估计的含义是：样本容量越大，估计值越精确。

2.2 区间估计

所谓区间估计，就是用两个估计量与估计未知参数，使得随机区间能够包含未知参数的概率为指定的。即：

称满足上述条件的区间为的置信区间，称为置信水平。称为置信下限，称为置信上限。

2.2.1 单正态总体均值的置信区间

（1）方差已知情形

查表求满足：对于，。

对于总体中的样本，的置信区间为：

（2-4）

其中可以用norminv(1-a /2)计算。

例2.3 设

1.1, 2.2, 3,3, 4.4, 5.5

为来自正态总体的简单随机样本，求的置信水平为95%的置信区间。

解 以下用Matlab命令计算：

x=[1.1,2.2,3.3,4.4,5.5];

n=length(x);

m=mean(x);

c=2.3/sqrt(n);

d=c*norminv(0.975);

a=m-d; b=m+d;

[a,b]

计算结果为 1.2840 5.3160

（2）方差未知情形

对于总体中的样本，的置信区间为：

（2-4）

其中为自由度的分布临界值。

数据同上，继续利用Matlab计算

S=std(x); dd=S*tinv(0.975,4)/sqrt(n);

aa=m-dd; bb=m+dd; [aa,bb]

结果为 1.1404 5.4596

2.2.2 单正态总体方差的置信区间

由于，查表求临界值与，使得

则的置信区间为

（2-5）

其中查表可用chi2inv进行。数据同上，以下求的置信区间。

c1=chi2inv(0.025,4);

c2=chi2inv(0.975,4);

T=(n-1)*var(x);

aaa=T/c2; bbb=T/c1;

[aaa,bbb]

计算结果为 1.0859 24.9784

2.2.3 两正态总体均值差的置信区间

（1）方差已知情形

设，，两样本独立，此时的置信区间为

（2-6）

这里我们已经知道可用norminv(0.975)求得，Matlab计算很容易。

（2）方差未知但相等：

此时的置信区间为

（2-7）

其中，而依照自由度计算。

2.2.4 两正态总体方差比的置信区间

此时，查自由度为的分布临界值表，使得

则的置信区间为：

（2-7）

例2.4 设两台车床加工同一零件，各加工8件，长度的误差为：

A：-0.12 -0.80 -0.05 -0.04 -0.01 0.05 0.07 0.21

B：-1.50 -0.80 -0.40 -0.10 0.20 0.61 0.82 1.24

求方差比的置信区间。

解 用Matlab计算如下：

x=[-0.12,-0.80,-0.05,-0.04,-0.01,0.05,0.07,0.21];

y=[-1.50,-0.80,-0.40,-0.10,0.20,0.61, 0.82,1.24];

v1=var(x); v2=var(y);

c1=finv(0.025,7,7); c2=finv(0.975,7,7);

a=(v1/v2)/c2; b=(v1/v2)/c1; [a,b]

计算结果为： 0.0229 0.5720

方差比小于1的概率至少达到了95%，说明车床A的精度明显高。