基本数学函数

2.1.1  三角函数与双曲函数

函数  sin、sinh

功能  正弦函数与双曲正弦函数

格式  Y = sin(X)   %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正弦值Y，所有分量的角度单位为弧度。

Y = sinh(X)  %计算参量X的双曲正弦值Y

注意：sin(pi)并不是零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已；对于复数Z= x+iy，函数的定义为：sin(x+iy) = sin(x)*cos(y) + i*cos(x)*sin(y)， ，

例2-1

x = -pi:0.01:pi; plot(x,sin(x))

x = -5:0.01:5; plot(x,sinh(x))

图形结果为图2-1。

图2-1  正弦函数与双曲正弦函数图

函数  asin、asinh

功能  反正弦函数与反双曲正弦函数

格式  Y = asin(X)   %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正弦函数值Y。若X中有的分量处于[-1,1]之间，则Y = asin(X)对应的分量处于[-π/2,π/2]之间，若X中有分量在区间[-1,1]之外，则Y= asin(X)对应的分量为复数。

Y = asinh(X)   %返回参量X中每一个元素的反双曲正弦函数值Y

说明  反正弦函数与反双曲正弦函数的定义为： ，

例2-2

x = -1:.01:1; plot(x,asin(x))

x = -5:.01:5; plot(x,asinh(x))

图形结果为图2-2。

图2-2  反正弦函数与反双曲正弦函数图

函数  cos、cosh

功能  余弦函数与双曲余弦函数

格式  Y = cos(X)   %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余弦值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，cos(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。

Y = sinh(X)  %计算参量X的双曲余弦值Y

说明  若X为复数z= x+iy，则函数定义为：cos(x+iy) = cos(x)*cos(y) + i*sin(x)*sin(y)， ，

例2-3

x = -pi:0.01:pi; plot(x,cos(x))

x = -5:0.01:5; plot(x,cosh(x))

图形结果为图2-3。

图2-3  余弦函数与双曲余弦函数图

函数  acos、acosh

功能  反余弦函数与反双曲余弦函数

格式  Y = acos(X)   %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余弦函数值Y。若X中有的分量处于[-1,1]之间，则Y = acos(X)对应的分量处于[0,π]之间，若X中有分量在区间[-1,1]之外，则Y = acos(X)对应的分量为复数。

Y = asinh(X)   %返回参量X中每一个元素的反双曲余弦函数Y

说明  反余弦函数与反双曲余弦函数定义为： ，

例2-4

x = -1:.01:1; plot(x,acos(x))

x = -5:.01:5; plot(x,acosh(x))

图形结果为图2-4。

图2-4  反余弦函数与反双曲余弦函数图

函数  tan、tanh

功能  正切函数与双曲正切函数

格式  Y = tan(X)   %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正切值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，tan(pi/2)并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。

Y = tanh(X)  %返回参量X中每一个元素的双曲正切函数值Y

例2-5

x = (-pi/2)+0.01:0.01:(pi/2)-0.01;  % 稍微缩小定义域

plot(x,tan(x))

x = -5:0.01:5; plot(x,tanh(x))

图形结果为图2-5。

图2-5  正切函数与双曲正切函数图

函数  atan、atanh

功能  反正切函数与反双曲正切函数

格式  Y = atan(X)    %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正切函数值Y。若X中有的分量为实数，则Y = atan(X)对应的分量处于[-π/2,π/2]之间。

Y = atanh(X)   %返回参量X中每一个元素的反双曲正切函数值Y。

说明  反正切函数与反双曲正切函数定义为： ，

例2-6

x = -20:0.01:20; plot(x,atan(x))

x = -0.99:0.01:0.99; plot(x,atanh(x))

图形结果为图2-6。

图2-6  反正切函数与反双曲正切函数图

函数  cot、coth

功能  余切函数与双曲余切函数

格式  Y = cot(X)    %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余切值Y，所有角度分量的单位为弧度。

Y = coth(X)    %返回参量X中每一个元素的双曲余切函数值Y

例2-7

x1 = -pi+0.01:0.01:-0.01;  %  去掉奇点x = 0

x2 = 0.01:0.01:pi-0.01;  % 做法同上

plot(x1,cot(x1),x2,cot(x2))

plot(x1,coth(x1),x2,coth(x2))

图形结果为图2-7。

图2-7  余切函数与双曲余切函数图

函数  acot、acoth

功能  反余切函数与反双曲余切函数

格式  Y = acot(X)   %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余切函数Y

Y = acoth(X)  %返回参量X中每一个元素的反双曲余切函数值Y

例2-8

x1 = -2*pi:pi/30:-0.1; x2 = 0.1:pi/30:2*pi; % 去掉奇异点x = 0

plot(x1,acot(x1),x2,acot(x2))

x1 = -30:0.1:-1.1; x2 = 1.1:0.1:30;

plot(x1,acoth(x1),x2,acoth(x2))

图形结果为图2-8。

图2-8  反余切函数与反双曲余切函数图

函数  sec、sech

功能  正割函数与双曲正割函数

格式  Y = sec(X)   %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。我们要指出的是，sec(pi/2)并不是无穷大，而是与浮点精度有关的无穷小量eps的倒数，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。

Y = sech(X)  %返回参量X中每一个元素的双曲正割函数值Y

例2-9

x1 = -pi/2+0.01:0.01:pi/2-0.01;  % 去掉奇异点x = pi/2

x2 = pi/2+0.01:0.01:(3*pi/2)-0.01;

plot(x1,sec(x1),x2,sec(x2))

x = -2*pi:0.01:2*pi;

plot(x,sech(x))

图形结果为图2-9。

图2-9  正割函数与双曲正割函数图

函数  asec、asech

功能  反正割函数与反双曲正割函数

格式  Y = asec(X)   %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正割函数值Y

Y = asech(X)   %返回参量X中每一个元素的反双曲正割函数值Y

例2-10

x1 = -5:0.01:-1; x2 = 1:0.01:5;

plot(x1,asec(x1),x2,asec(x2))

x = 0.01:0.001:1; plot(x,asech(x))

图形结果为图2-10。

图2-10  反正割函数与反双曲正割函数图

函数  csc、csch

功能  余割函数与双曲余割函数

格式  Y = csc(X)    %计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。

Y = csch(X)    %返回参量X中每一个元素的双曲余割函数值Y

例2-11

x1 = -pi+0.01:0.01:-0.01; x2 = 0.01:0.01:pi-0.01; % 去掉奇异点x=0

plot(x1,csc(x1),x2,csc(x2))

plot(x1,csch(x1),x2,csch(x2))

图形结果为图2-11。

图2-11  余割函数与双曲余割函数图

函数  acsc、acsch

功能  反余割函数与反双曲余割函数。

格式  Y = asec(X)    %返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余割函数值Y

Y = asech(X)   %返回参量X中每一个元素的反双曲余割函数值Y

例2-12

x1 = -10:0.01:-1.01; x2 = 1.01:0.01:10; % 去掉奇异点x = 1

plot(x1,acsc(x1),x2,acsc(x2))

x1 = -20:0.01:-1; x2 = 1:0.01:20;

plot(x1,acsch(x1),x2,acsch(x2))

图形结果为图2-12。

图2-12  反余割函数与反双曲余割函数图

函数  atan2

功能  四象限的反正切函数

格式  P = atan2(Y,X)   %返回一与参量X和Y同型的、与X和Y元素的实数部分对应的、元素对元素的四象限的反正切函数阵列P，其中X和Y的虚数部分将忽略。阵列P中的元素分布在闭区间[-pi,pi]上。特定的象限将取决于sign(Y)与sign(X)。

例2-13

z=1+2i;

r = abs(z);

theta = atan2(imag(z),real(z))

z = r *exp(i *theta)

feather(z);hold on

t=0:0.1:2*pi;

x=1+sqrt(5)*cos(t);

y=sqrt(5)*sin(t);

plot(x,y);

axis equal; hold off

计算结果为：

theta =

1.1071

z =

1.0000 + 2.0000i

图形结果为图2-13。

图2-13  四象限的反正切函数图