题目：用牛顿法求方程x-cos(x)=0的实根（精确到1E-6）。

（1）要求用函数调用。

（2）进一步研究和弦截法作比较。

算法分析：

（1） 此题是利用牛顿方法解一元非线性方程的根。（牛顿法是把非线性方程局部线性化的一种方法，它在单根附近具有较高的收敛速度。）所以首先我们应先给出估计的根，先对方程x-cos(x)=0变形，令y1=x,y2=cos(x),则两函数图象的交点，就是方程x-cos(x)=0的根，这里利用Matlab作图估计根的值。

在Matlab命令行中输入，并运行：

>>x=-2:0.01:2;

>>y1=cos(x);

>>y2=x;

>>plot(x,y1,x,y2);

>>grid on;

可得下图：

从图中可以很容易得到根x的初值可选0.6。

Matlab代码如下：

（1）funNewton.m函数文件为：

%此文件为被调函数文件。 function[y,dirv_y]=funNewton(x) %y与dirv_y为函数返回的参数，x为调用时的传递参数。 y=x-cos(x); dirv_y=1+sin(x); %dirv_y为y的一阶导函数

（2）Newton.m脚本文件为：

clear all %清除所有变量 Error=1e-6; %根所要求的误差精度 formatlong %格式化此行一下的变量。 x=0.6; fork=1:20 %迭代次数20次 [y,dirv_y]=funNewton(x); %调用函数文件 xk=x; %xk可保留前一次x的值。 x=x-y/dirv_y; %牛顿法的核心，即此迭代公式。 if(abs(xk-x)<=Error) %判断当此x的值与前一次x的值即xk的差值，即误差是否小于题目给定的误差。 break; end end x %输出根x的值。

在Matlab的命令行中输入（因为我的程序文件保存为：Newton.m脚本文件，funNewton.m函数文件）：

>>Newton

x=0.739085133215161

结果分析：

在Matlab的命令行中输入：

>>format long

>>fzero(\'x-cos(x)\',0)

ans=0.739085133215161

经比较可知：牛顿法的结果有一定的误差，但是牛顿方法由于在单根附近有良好的收敛性，所以与其他方法得出的结果相比误差较小。但是牛顿方法有个缺点：它只在根附近局部收敛。所以所我们在给定X的初值时尤为重要，如果给的初值离真值过远。那么用牛顿法可能永远也找不到此方程的解。对于这种情况，我们可以先利用工具软件（如：Matlab）画出草图，确定根的大致位置。牛顿法的每一步迭代都要计算一次导数值，而在计算机中，计算一次导数的近似值比计算函数值要麻烦的多。所以我们可以用弦截法，其迭代公式为：x2=x1-((x1-x0)/f(x1)-f(x0))*f(x1).

当f(x)在x*的某一个邻域内具有二阶连续导数，且f’(x)!=0,初值x0,x1落在此邻域内，弦截

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