5.1矩阵

eye(n)：创建n×n的矩阵
eye(m,n)：创建m×n的矩阵
eye(size(A))：创建与A维数相同的单位阵
ones(n)：创建n×n的全1矩阵
ones(m,n)：创建m×n的全1矩阵
ones(size(A))：创建与A维数相同的全1矩阵
zeros(m,n)：创建m×n全0矩阵
zeros(size(A))：创建与A维数相同的全0矩阵
rand(n)：在[0,1]区间内创建一个n×n均匀分布的随机矩阵
rand(m,n)：在[0,1]区间内创建一个m×n均匀分布的随机矩阵
rand(size(A))：在[0,1]区间内创建一个与A维数相同的均匀分布的随机矩阵
compan§：创建系数向量是P的多项式的伴随矩阵
diag(v)：创建一向量v中的元素为对角的对角阵
hilb(n)：创建n×n的Hilbert矩阵
magic(n)：生成n阶魔方矩阵
sparse(n)：将矩阵A转化为稀疏矩阵形式，即由A的非零元素和下标构成稀疏矩阵S。若A本身为稀疏矩阵，则返回A本身。

矩阵元素修改

A = [A;B C]
A(m,???? = [] 删除第m行
A(n,:) = [] 删除第n列
A(m,n) = a; A(m,:) = [a b …]; A(:,n) = [a b …]
reshape(X,m,n)：将已知矩阵变维成m行n列的矩阵
C(:)=A(????：同reshape

矩阵的变向：
Rot(90)：将A逆时针旋转90°
Rot(90,k)：将A逆时针方向旋转90°*k，k可为正整数或负整数。
Fliplr(X)：将X左右翻转
flipud(X)：将X上下翻转
flipdim(X,dim)：dim=1时对行翻转，dim=2时对列翻转

矩阵的抽取：
diag(X,k)：抽取矩阵X的第k条对角线上的元素向量。k=0时抽取主对角线，k为正整数时抽取上方第k条对角线上的元素，k为负整数时抽取下方第k条对角线上的元素
diag(X)：提取主对角线
diag(v,k)：使得v为所得矩阵第k条对角线上的元素向量
diag(v)：使得v为所得矩阵主对角线上的元素向量
tril(X)：提取矩阵X的主下三角部分
tril(X,k)：提取矩阵X的第k条对角线下面的部分(包括第k条对角线)
triu(X)：提取矩阵X的主上三角部分
triu(X,k)：提取矩阵X的第k条对角线上面的部分(包括第k条对角线)

矩阵运算

DX = B
X = inv(D)B=D\B：左除条件为B的行数等于D的阶数
XD1=B1
X=B1inv(D1)=B1/D1：右除条件为B1的列数等于D1的阶数

对于单个n阶矩阵A
A^k A^l = A^(k+l)
对于两个n阶矩阵
(AB)^k ≠ A^k B^k

矩阵的逆：
如果有n阶方阵B满足 AB=BA =I，则称矩阵A为可逆的
求解矩阵逆条件数值：rcond

矩阵的条件数cond(A)用于判断矩阵是否病态

楚列斯基分解：针对对称正定矩阵的分解，分解为R是一个具有正的对角元上三角矩阵
R = chol(A) 返回楚列斯基分解因子R
[R,p] = chol(A) 该命令不产生任何错误信息，若A为正定矩阵，则p=0，R同上；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵

LU分解：矩阵的LU分解又称矩阵的三角分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
[L,U]=lu(A)：对矩阵A进行LU分解，其中L为单位下三角阵或其变换形式，U为上三角阵。
[L,U,P]=lu(A)：对矩阵A进行LU分解，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，P为置换矩阵，满足LU=PA。
实际应用中，我们一般都是使用第二种格式的lu分解命令，因为第一种调用格式输出的矩阵L并不一定是下三角矩阵，这对于分析和计算都是非常不利的。

LDMT与LDLT分解
对于n阶方阵A，所谓的LDMT分解就是将A分解为3个矩阵的乘积——LDMT。其中，L、M是单位下三角矩阵，D为对角矩阵。事实上，这种分解是LU分解的一种变形，因此这种分解可以将LU分解稍作修改得到，也可根据三个矩阵的特殊结构直接计算出来。
[L,D,M] = ldm(A)
[L,D]=ldl(A)

QR分解：
矩阵A的QR分解也叫正交三角分解，即将矩阵A表示成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积形式。
[Q,R]=qr(A) 返回正交矩阵Q和上三角矩阵R，Q和R满足A=QR；若A为m×n矩阵，则Q为m×m矩阵，R为m×n矩阵
[Q,R,E]=qr(A) 求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为置换矩阵使得R的对角线元素按绝对值大小降序排列，满足AE=QR
[Q,R]=qr(A,0) 产生矩阵A的“经济型”分解，即若A为m×n矩阵，且m>n，则返回Q的前n列，R为n×n矩阵；否则该命令等价于[Q,R]=qr(A)
[Q,R,E]=qr(A,0) 产生矩阵A的“经济型”分解，E为置换矩阵使得R的对角线元素按绝对值大小降序排列，且A(:,E)=QR
R=qr(A) 对稀疏矩阵A进行分解，只产生一个上三角阵R，R为ATA的Cholesky分解因子，即满足RTR=ATA
R=qr(A,0) 对稀疏矩阵A的“经济型”分解
[C,R]=qr(A,b) 此命令用来计算方程组Ax=b的最小二乘解

[Q1,R1]=qrdelete(Q,Rj) 返回去掉A的第j列后，新矩阵的QR分解矩阵。其中Q、R为原来A的QR分解矩阵
[Q1,R1]=qrdelete(Q,R,j,‘col’) 同上
[Q1,R1]=qrdelete(Q,R,j,‘row’) 返回去掉A的第j行后，新矩阵的QR分解矩阵。其中Q、R为原来A的QR分解矩阵

[Q1,R1]=qrinsert(Q,R,j,x) 返回在A的第j列前插入向量x后，新矩阵的QR分解矩阵。其中Q、R为原来A的QR分解矩阵。
[Q1,R1]=qrinsert(Q,R,j,x,‘col’) 同上
[Q1,R1]=qrinsert(Q,R,j,x,‘row’) 返回在A的第j行前插入向量x后，新矩阵的QR分解矩阵。其中Q、R为原来A的QR分解矩阵

SVD分解
奇异值分解(SVD) 是现代数值分析(尤其是数值计算)的最基本和最重要的工具之一，因此在实际工程中有这广泛的应用。
s = svd(A) 返回矩阵A的奇异值向量s
[U,S,V] = svd(A) 返回矩阵A的奇异值分解因子U、S、V
[U,S,V] = svd(A,0) 返回m×n矩阵A的“经济型”奇异值分解，若m>n则只计算出矩阵U的前n列，矩阵S为n×n矩阵，否则同[U,S,V]=svd(A)

舒尔(Schur)分解
舒尔分解是一种典型的酉相似变换，它的最大好处是能够保持数值稳定。
T=schur(A) 返回舒尔矩阵T，若A有复特征值，则相应的对角元以2×2的块矩阵形式给出。
T = schur(A,flag) 若A有复特征值，则flag=‘complex’,否则flag=‘real’
[U,T]=schur(A,…) 返回酉矩阵U和舒尔矩阵T

海森伯格(Hessenberg)分解
如果矩阵H的第一子对角线下元素都是0，则H(或其转置形式)称为上(下)海森伯格矩阵。
H=hess(A) 返回矩阵A的上海森伯格形式
[P,H]=hess(A) 返回一个上海森伯格矩阵H以及一个矩阵P，满足：A=PHP’ 且P’P=I
[H,T,Q,U]=hess(A,B) 对于方阵A、B，返回上海森伯格矩阵H，上三角矩阵T以及酉矩阵Q、U，使得QAU=H，且QBU=T。
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