MATLAB线性方程组的迭代求解法
作者：凯鲁嘎吉 - 博客园
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一、实验目的
1． 借助矩阵按模最大特征值，判断解方程组的Jacobi迭代法所得迭代序列的敛散性。
2． 会在Jacobi迭代法所得迭代序列收敛时，用修改后的Gauss-Seidel迭代法。
3． 会逐次超松驰迭代法。
二、实验原理
三、实验程序
四、实验内容
用上面前二种方法求解4元线性方程组的近似解，所选方程组尽可能可以用多种方法求得收敛解。
注：要注意判断迭代法收敛性，方法之一就是用程序求矩阵的按模最大特征值。
五、解答
1.(程序)
（1）Jacobi迭代法源程序：
function x=jacobi(a,b,x0,n,tol,m) x=zeros(n,1); for k=0:m for i=1:n s=0; for j=1:n if j~=i s=s+a(i,j)*x0(j,1); end end x(i,1)=(b(i,1)-s)/a(i,i); if norm(x-x0,inf)<tol break; end x0(i,1)=x(i,1); end end
（2）Gauss-Seidel迭代法源程序：
function x=gauss_seidel(a,b,x0,n,tol,m) x=zeros(n,1); for k=0:m for i=1:n s=0;s2=0; for j=1:i-1 s2=s2+a(i,j)*x(j,1); end for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x0(j,1); end x(i,1)=(b(i,1)-s-s2)/a(i,i); if norm(x-x0,inf)<tol break; end x0(i,1)=x(i,1); end end
2.(运算结果)
(1)求解线性方程组
>> a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20 33 36]\';x0=[0 0 0]\'; >> x=jacobi(a,b,x0,3,1e-6,50) x = 3.0000 2.0000 1.0000
（2）Gauss-Seidel迭代法
>> a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20 33 36]\';x0=[0 0 0]\'; >> x=gauss_seidel(a,b,x0,3,1e-6,50) x = 3.0000 2.0000 1.0000
3.(拓展（方法改进、体会等）)
逐次超松驰迭代法源程序：
function x=SOR(a,b,x0,n,w,tol,m) x=zeros(n,1); for k=0:m for i=1:n s=0;s2=0; for j=1:i-1 s2=s2+a(i,j)*x(j,1); end for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x0(j,1); end x(i,1)=(1-w)*x0(i,1)+w*(b(i,1)-s-s2)/a(i,i); if norm(x-x0,inf)<tol break; end x0(i,1)=x(i,1); end end
运算结果：
>> a=[-4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4];b=[1 1 1 1]\';x0=[0 0 0 0]\'; >> x=SOR(a,b,x0,4,1,1e-6,20) x = -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
