总述

如果已知函数表达式，可以通过diff(）函数求取各阶导数解析解的方法，并得出结论，高达100阶的导数也可以用MATLAB语言在几秒钟的时间内直接求出。

如果函数表达式未知，只有实验数据，在实际应用中经常也有求导的要求，这样的问题就不能用前面的方法获得问题的解析解。要求解这样的问题，需要引入数值算法得出所需问题的解。由于在MATLAB语言中没有现成的数值微分函数，所以本文将介绍一种数值微分算法——中心差分方法。

函数说明

function [dy,dx] = diff_ctr(y,Dt,n)
%diff_ctr
%中心差分算法实现数值微分
%  调用格式：
%    [d_y, d_x] = diff_ctr(y,Dt,n)
%  其中，y为给定的等间距的实测数据构成的向量， Dt为自变量的间距，n为所需的导数阶次。 
%  向量d_y为得出的导数向量， 而d_x为相应的自变量向量。注意这两个向量的长度比y短。
%
% Examples:
%  求函数y=sin(x)/(x^2+4*x+3)的1~4阶导数
% MATLAB求解语句：
%  h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; 
%  f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); y=subs(f,x1,x);
%  [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(dx1,y1); 
%  [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(dx2,y2); 
%  [y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(dx3,y3); 
%  [y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(dx4,y4);

% 与解析解对比验证：
% syms x1; 
% f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); 
% yy1=diff(f);   f1=subs(yy1,x1,x); 
% yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); 
% yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); 
% yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);
% % 求四阶导数向量的范数（相对误差）：
% norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))

应用举例

问题： 求函数 $y=\frac{sin x}{x^2+4x+3}$ 的1~4阶导数, 并验证误差。

代码如下：

% // 输入函数，并求解析解，并代入x向量得出精确解。
h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; 
f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); 
yy1=diff(f); f1=subs(yy1,x1,x); 
yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); 
yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); 
yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);
%// 比较不同阶的导数
y=subs(f,x1,x); 
[y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(x,f1,dx1,y1,\':\'); 
[y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(x,f2,dx2,y2,\':\'); 
[y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(x,f3,dx3,y3,\':\'); 
[y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(x,f4,dx4,y4,\':\')
%// 定量分析误差
norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))

不同阶的导数图像如下：

定量地分析误差时， 考虑到计算得出的4阶导数向量， 其长度比原始对照向量f4短， 所以两个向量取同样多点进行比较， 就可以得出数值方法的相对误差最大值为$3.5 \times 10^{-4}$, 亦即 $0.03 5%$ 。 由此可见， 这里的数值方法还是很精确的。

函数实现

function [dy,dx] = diff_ctr(y,Dt,n)
y1=[y 0 0 0 0 0 0];
y2=[0 y 0 0 0 0 0];
y3=[0 0 y 0 0 0 0];
y4=[0 0 0 y 0 0 0];
y5=[0 0 0 0 y 0 0];
y6=[0 0 0 0 0 y 0];
y7=[0 0 0 0 0 0 y];
switch n
    case 1
        dy = (-y1+8*y2-8*y4+y5)/12/Dt;
    case 2
        dy = (-y1+16*y2-30*y3+16*y4-y5)/12/Dt^2;
    case 3
        dy = (-y1+8*y2-13*y3+13*y5-8*y6+y7)/8/Dt^3;
    case 4
        dy = (-y1+12*y2-39*y3+56*y4-39*y5+12*y6-y7)/6/Dt^4;
end
dy = dy(5+2*(n>2):end-4-2*(n>2));
dx = ([2:length(dy)+1]+(n>2))*Dt;

此函数源文件可前往下面网址下载：

diff_ctr.m下载通道