一：矩阵QR分解

矩阵的QR分解目的是将一个列满秩矩阵\(A\)分解成\(A=QR\)的形式，我们这里暂时讨论\(A\)为方阵的情况。其中\(Q\)为正交矩阵；\(R\)为正线（主对角线元素为正）上三角矩阵，且分解是唯一的。

比如\(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}\)，我们最终要分解成如下形式：

现在主要的问题是如何由矩阵\(A\)计算得到矩阵\(Q\)和\(R\)呢？我们将在下面讨论。

1.1 QR分解原理

在线性代数或矩阵理论中，我们肯定都学过斯密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）,正交化过程即将欧氏空间的任一基化为标准正交基，构造出的标准正交基正好构成了我们想要的\(Q\)矩阵，而\(R\)矩阵由正交化过程的公式倒推即可得到。

首先假设初始方阵为\(A\)，\(\vec{x_i}\)、\(\vec{y_i}\)、\(\vec{z_i}\)都为列向量。我们学过斯密特正交化的步骤如下：

再具体一点（为了好写，之后的\(\vec{x_i}\)、\(\vec{y_i}\)、\(\vec{z_i}\)都不加箭头了，默认为列向量）：

由上述公式写出计算\(Q\)和\(R\)的伪代码为：

注：\(A_{:k}\)表示\(A\)的第\(k\)列向量。

可以看出其实矩阵的QR分解的步骤并不多，就是不断地循环进行\(A\)的正交化、标准化、求\(Q\)、求\(R\)这几步。

二：矩阵QR分解的MATLAB实现

clc, clear all, close all

% 矩阵的QR分解
A = [1 2 2;2 1 2;1 2 1] % 考虑非奇异方阵
[m,n] = size(A);
Q = zeros(n,n);
X = zeros(n,1);
R = zeros(n);

for k = 1 : n
    R(k,k) = norm(A(:,k)); % 计算R的对角线元素
    Q(:,k) = A(:,k) / R(k,k); % A已正交化，现在做标准化，得到正交矩阵Q
    for i = k + 1 : n
        R(k,i) = A(:,i)\' * Q(:,k); % 计算R的上三角部分
        A(:,i) = A(:,i) - R(k,i) .* Q(:,k); % 更新矩阵A，斯密特正交公式
    end
end
Q
R

三：矩阵QR分解的C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() /* 矩阵A的QR分解*/
{
	vector<vector<double>> a = { {1,2,2},{2,1,2},{1,2,1} };
	int n = a.size();
	vector<vector<double>> q(n, vector<double>(n));
	vector<vector<double>> r(n, vector<double>(n));

	cout << "A:" << endl; //输出矩阵A
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			printf("%.4f ", a[i][j]);
		}
		cout << endl;
	}

	for (int k = 0; k < n; k++)
	{
		double MOD = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			MOD += a[i][k] * a[i][k]; 
		}
		r[k][k] = sqrt(MOD); // 计算A第k列的模长，由公式(4)等于R的对角线元素||A:k||
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			q[i][k] = a[i][k] / r[k][k]; // 由公式(2)，A第k列标准化之后成为Q的第k列
		}

		for (int i = k + 1; i < n; i++)
		{
			for (int j = 0; j < n; j++)
			{
				r[k][i] += a[j][i] * q[j][k]; // 由公式(4)，计算R的上三角部分
			}
			for (int j = 0; j < n; j++)
			{
				a[j][i] -= r[k][i] * q[j][k]; // 由公式(1)，计算更新A的每一列
			}
		}
	}

	cout << endl;
	cout << "Q:" << endl; //输出矩阵Q
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			printf("%.4f ", q[i][j]);
		}
		cout << endl;
	}

	cout << endl;
	cout << "R:" << endl; //输出矩阵R
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			printf("%.4f ", r[i][j]);
		}
		cout << endl;
	}

	return 0;
}

四：结果对比

由下图可以看到，由MATLAB和C++计算出的\(Q\)和\(R\)矩阵完全相同。