转载自：http://blog.csdn.net/anan1205/article/details/12313593

 

两个矩阵卷积转化为矩阵相乘形式——Matlab应用(这里考虑二维矩阵，在图像中对应)两个图像模糊（边缘）操作，假设矩阵A、B，A代表源图像，B代表卷积模板，那么B的取值决定最后运算的结果。

       Matlab中的应用函数——conv2（二维卷积，一维对应conv）

       函数给出的公式定义为：

    

 

        同一维数据卷积一样，它的实质在于将卷积模板图像翻转（旋转180），这里等同于一维信号的翻转，然后将卷积模板依次从上到下、从左到右滑动，计算在模板与原始图像交集元素的乘积和，该和就作为卷积以后的数值。

        为了验证后续矩阵卷积转化为矩阵相乘，这里给出的conv2的实例描述： 

 

        假设矩阵A（4*3）、B（2*3）如下：

               

 

       首先，B需要旋转180，

      命令旋转2次90即可：

      B = rot90(rot90(B));或者B = rot90(h,2);  结果为：

      

      其次：命令conv2函数：

      C = conv2(A,B，‘shape’),该函数的具体操作图示：

                            

 

       依次计算直至结束，结果数据为：

    

         shape的取值有三种，full代表返回卷积以后的全部数据，size为(mA+mB-1,nA+nB-1)的数据；same代表返回卷积以后的原图size (mA,nA)的部分数据；valid返回size为(mA-mB+1,nA-nB+1)的数据，指的是模板元素全部参加运算的结果数据，即源图像和模板的交集为模板。

        

         矩阵卷积转化为矩阵相乘，网上也有很多方法，通俗化表示为：

A×B = B1*A1;

 

         需要针对原始数据与模板数据做变换，变换过程如下：

                        

       首先进行周期延拓，补零：

       M = mA+mB-1 = 5;  N = nA+nB-1 = 5，对应卷积以后full数据大小。

      那么初次换换的A和B为：

   

        其次对A1和B1分别进行变换

        转化B1——针对B1以及转换矩阵方法为：

        

 

 

          将B1中的每一行向量依次按照B转化为一个方形矩阵Ba~Be，然后针对于每一个方形矩阵按照B矩阵组合成一个新的矩阵B1。B1矩阵的大小为（（mA+mB-1）*（nA+nB-1），（mA+mB-1）*（nA+nB-1））。

          转化A1——堆叠向量式

         将上个步骤转换的A1按照行向量顺寻依次转化为一个列向量，那么列向量的大小为（（mA+mB-1）*（nA+nB-1），1）大小。

        

 

        针对实例：具体代码为：

 

      周期延拓：

       转化A——>A1

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  1. [m1,n1] = size(A);  [m2,n2] = size(B);  
  2. m=m1+m2-1;n=n1+n2-1;  
  3. AA = padarray(A,[m2-1,n2-1],\'post\');%%%补零  
  4. BB = padarray(B,[m1-1,n1-1],\'post\');%%%补零  
  5. AA =AA\';  
  6. A1 = AA(:);%%%%  

     转化B——>B1

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  1. B2(1,:) = BB(1,:);  
  2. for i =2:m  
  3.     B2(i,:) = BB(m-i+2,:);  
  4. end %%%矩阵a ~ e的重新赋值  
  5.   
  6. B4 = zeros(n,n);%%%%%%%每一行转化的方阵  
  7. B1 = zeros(m*n,m*n);%%%%%最后的矩阵  
  8. for i =1:m%%%%%%%%几维向量  
  9.     B = B2(i,:);  
  10.     if sum(sum(abs(B))==0)  
  11.         B4 = zeros(n,n);  
  12.     else  
  13.        for j = 1:n%%%%%%%元素  
  14.            for k =0:n-1%%%%%%%%位置(搞定一行向量转化为方阵的形式)  
  15.                t = mod(j+k,n);  
  16.                if t==0  
  17.                   t = n;  
  18.                end  %%%end if  
  19.                B4(t,k+1) = B(j);  
  20.            end %%%end for  
  21.        end  %%%end for  
  22.        for  k =0:m-1%%%%%%%%每一个转换矩阵在大矩阵中的位置编号（搞定小方阵在大阵中的位置转化为大方阵的形式）  
  23.             t = mod(i+k,m);  
  24.             if t==0  
  25.                 t = m;  
  26.             end  %%%end if  
  27.             B1(k*n+1:(k+1)*n,(t-1)*n+1:t*n) = B4;  
  28.        end  %%%end for  
  29.    end %%%end if else   
  30. end  %%%end for      

 

     结果数据转化：

 

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  1. Result = B1*A1;  
  2. Result = reshape(Result,n,m);  
  3. Result = Result\';  

 

    得到的结果等同于conv2的数据结果：    

 

   利用matlab接口更快的实现方法：
 
   还是以5 * 5的原始数据与3*3的卷积核为例子：
 
   代码如下：
[html] view plain copy
 
  1. dd_data = [1,2,4,5,6;6,8,9,1,3;6,8,9,2,4;7,3,5,7,5;1,5,8,9,3]; % 5 *  5  
  2. f_k = [3,4,5;6,7,8;3,2,1]; % 3 * 3  
  3. dd_data_f_k = conv2(dd_data,f_k,\'full\'); % matlab 函数接口  
  4. dd_data1 = padarray(dd_data,[2 2],\'both\'); % 扩充原始数据  
  5. v_dd_data = im2col(dd_data1,[3 3]);% 块数据向量化  
  6. f_k1 = f_k(:);  
  7. f_k1 = f_k1(end : -1 :1);  
  8. f_k1 = f_k1\'; % 卷积核的表示  
  9. dd_data_f_k1 = f_k1 * v_dd_data; % 卷积转化为相乘  
  10. dd_data_f_k1 = reshape(dd_data_f_k1,[7 7]); % 转化为结果数据