实验目的
（1）掌握曲线拟合的相应算法；
（2）将拟合与插值法进行比较。
实验要求
实验步骤要有模型建立，模型求解、结果分析。
实验内容
（1）用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合，结果如何？
（2）用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为 ，其中V0是电容器的初始电压， 是充电常数。试由下面一组t，V数据确定V0，τ。
|
t(秒) |
0.5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
9 |
|
V(伏) |
6.36 |
6.48 |
7.26 |
8.22 |
8.66 |
8.99 |
9.43 |
9.63 |
实验步骤
（1）解：编程解题，取[1,23]为例展示，代码
1 %% 给定x，得到y 2 x=1:0.1:23; 3 y=x.^3-6*x.^2+5*x-3; 4 y0=y+rand;%随机干扰 5 %% 输出多项式系数 6 f1=[1 -6 5 -3];%原系数 7 f2=polyfit(x,y0,2);%2次多项式 8 f3=polyfit(x,y0,3);%3次多项式 9 f4=polyfit(x,y0,4);%4次多项式 10 %% 输出图像 11 % 计算各x点拟合值 12 y2=polyval(f2,x); 13 y3=polyval(f3,x); 14 y4=polyval(f4,x); 15 % 画图 16 figure,subplot(2,2,1) 17 plot(x,y,\'r\',\'LineWidth\',3);%原图像 18 legend(\'原函数\',\'Location\',\'northwest\'); 19 title(\'[1,23]原函数图像\'); 20 xlabel(\'x轴\'); 21 ylabel(\'y轴\'); 22 23 subplot(2,2,2) 24 plot(x,y,\'r\',x,y2,\'b\',\'LineWidth\',1,\'LineWidth\',2)%2次多项式拟合 25 legend(\'原函数\',\'2次多项式拟合\',\'Location\',\'northwest\'); 26 title(\'[1,23]的2次拟合函数及原函数图像\'); 27 xlabel(\'x轴\'); 28 ylabel(\'y轴\'); 29 30 subplot(2,2,3) 31 plot(x,y,\'rs\',x,y3,\'y\',\'LineWidth\',1,\'LineWidth\',2)%3次多项式拟合 32 legend(\'原函数\',\'3次多项式拟合\',\'Location\',\'northwest\'); 33 title(\'[1,23]的3次拟合函数及原函数图像\'); 34 xlabel(\'x轴\'); 35 ylabel(\'y轴\'); 36 37 subplot(2,2,4) 38 plot(x,y,\'rs\',x,y4,\'g\',\'LineWidth\',1,\'LineWidth\',2);%4次多项式拟合 39 legend(\'原函数\',\'4次多项式拟合\',\'Location\',\'northwest\'); 40 title(\'[1,23]的4次拟合函数及原函数图像\'); 41 xlabel(\'x轴\'); 42 ylabel(\'y轴\'); 43 44 45
程序运行
原系数：1，-6，5，-3；
二次拟合系数：30，-353.7420，846.8601；
三次拟合系数：1，-6，5，-2.0439；
四次拟合系数：-4.6603e-17，1，-6，5，-2.0439。
右上述运行的结论，得出三次拟合系数与原系数相差不大，只有常数项不一样；四次系数的四次项的系数几乎为0，而接下来的系数与原系数相差就在常数项中；只有二次拟合的系数相差巨大。
由图可见，三次多项式和四次多项式的拟合效果较好。二次多项式拟合效果较差。
（2）解：根据题意得，v(t)与T呈指数变化关系，本报告使用指数曲线拟合（非线性拟合），对题干中的变量做新的阐述，v1代替v(t)，t0代替τ，v2是拟合后的曲线方程，对v(t)=v-(v-v0)e(-t/τ)取对数，有令 ，，则，。编程解题，代码
1 %题2 2 t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9]; 3 v1=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63]; 4 y=log(10-v1); 5 f=polyfit(t,y,1); 6 t0=-1/f(1); 7 v0=10-exp(f(2)); 8 v2=10-(10-v0)*exp(-t/t0); 9 plot(t,v1,\'rx\',t,v2,\'k:\',\'LineWidth\',2,... 10 \'LineWidth\',2); 11 grid on 12 legend(\'原始数据\',\'曲线拟合\',\'Location\',\'northwest\'); 13 xlabel(\'时间t(s)\'),ylabel(\'充电电压(V)\'); 14 title(\'电容器充电电压与时间t的曲线\'); 15
运行示例，
由图示，拟合效果良好，解得t0=3.5269，v0=5.6221。也就是τ=3.5269。
小结
使用曲线拟合之前最好对该曲线的的可能拟合的方程做大致的估计，并且在拟合完成之后，应当使用其他数据进行检验。
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