目的

用 MATLAB 对控制系统进行时域分析，包括典型响应、判断系统稳 定性和分析系统的动态特性。

理论

二、典型响应及其性能分析

1、单位阶跃响应
单位阶跃响应调用格式为：
(1) step(num,den)
(2) step(num,den,t)
(3) step(G)
(4) step(G,t)
该函数将绘制出系统在单位阶跃输入条件下的动态响应图，同时给出稳态值。其中 t 为图像显示的时间长度，是用户指定的时间向量。
如果需要将输出结果返回到 MATLAB 工作空间中，则采用以下调用格式：
c=step(G)

2、求阶跃响应的性能指标
MATLAB 提供了强大的绘图计算功能，可以用多种方法求取系统的动态响应指标。
(1) 最简单的方法――游动鼠标法
在程序运行完毕后，用鼠标左键点击时域响应图线任意一点，
系统会自动跳出一个小方框， 小方框显示了这一点的横坐标 （时间）和纵坐标 （幅值）。按住鼠标左键在曲线上移动，可以找到曲线幅值最大的一点, 即曲线最大峰值，此时小方框中显示的时间就是此二阶系统的峰值时间，根据观察到的稳态值和峰值可以计算出系统的超调量。
这种方法简单易用，但同时应注意它不适用于用 plot()命令画出的图形。

(2) 用编程方式求取时域响应的各项性能指标
由上面内容可知, 用阶跃响应函数 step( )可以获得系统输出量，若将输出量
返回到变量 y 中，可以调用如下格式命令：
[y,t]=step(G)
该函数还同时返回了自动生成的时间变量 t，对返回的这一对变量 y 和 t 的
值进行计算，可以得到时域性能指标。
① 峰值时间
[Y,k]=max(y);timetopeak=t(k)
应用取最大值函数 max()求出 y 的峰值及相应的时间，并存于变量 Y 和 k 中。
然后在变量 t 中取出峰值时间，并将它赋给变量 timetopeak。
② 超调量
C=dcgain(G);[Y,k]=max(y);overshoot=100*(Y-C)/C
dcgain( )函数用于求取系统的终值，将终值赋给变量 C，然后依据超调量的
定义，由 Y 和 C 计算出超调量。

③ 上升时间
可以用 while 语句编写以下程序得到：

C=dcgain(G); n=1;
while y(n)<C
n=n+1;
end
risetime=t(n)

在阶跃输入条件下， y 的值由零逐渐增大，当以上循环满足 y=C 时，退出
循环，此时对应的时刻，即为上升时间。
对于输出无超调的系统响应，上升时间定义为输出从稳态值的 10%上升到
90%所需时间，则计算程序如下：

C=dcgain(G);n=1;
while y(n)<0.1*C
n=n+1;
end
m=1;
while y(m)<0.9*C
m=m+1;
end
risetime=t(m)-t(n)

④ 调节时间(取误差带为 0.02)
C=dcgain(G);i=length(t);
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)
i=i-1;
end
setllingtime=t(i)
用向量长度函数 length( )可求得 t 序列的长度，将其设定为变量 i 的上限值。

3、脉冲响应
脉冲响应调用格式为：
(1) impulse (num,den)
(2) impulse (num,den,t) 时间向量 t 的范围可以由人工给定（例如 t=0:0.1:10）
(3) [y,x]=impulse(num,den) 返回变量 y 为输出向量， x 为状态向量
(4) [y,x,t]=impulse(num,den,t) 向量 t 表示脉冲响应进行计算的时间

4、高阶系统的降阶处理
利用闭环主导极点的概念, 可将高阶系统进行降阶处理。
5、分析零点对系统单位阶跃响应的影响

三、系统稳定性分析
MATLAB 中有以下三种方法对系统进行稳定性分析：
1、利用 pzmap 绘制连续系统的零极点图；
2、利用 tf2zp 求出系统零极点；
3、利用 roots 求分母多项式的根来确定系统的极点

实操

2-1

clc,clear
num=[1,7,24,24];
den=[1,10,35,50,24,0];
[r,p,k]=residue(num,den) 

2-2

 clc,clear
 num=[1];
 den=[0.2,1];
 G=tf(num,den);
 t=0:0.1:4;
 subplot(2,2,1)
 step(G,t),
 grid on
 xlabel('t/s'),ylabel('c(t)'),title('单位阶跃响应曲线') 
 u1=t;
 subplot(2,2,2)
 lsim(G,u1,t),
 grid on
 xlabel('t/s'),ylabel('c(t)'),title('单位斜坡响应曲线')
 u2=(1/2)*(t.^2);
 subplot(2,2,3)
 lsim(G,u2,t),
 grid on
 xlabel('t/s'),ylabel('c(t)'),title('单位加速度响应曲线')

2-3

(1) 最简单的方法――游动鼠标法

num=[10];den=[1 2 10];G=tf(num,den),grid
title('Unit-Step Response of G(s)=10/(s^2+2s+10)')

(2) 用编程方式求取时域响应的各项性能指标

clc,clear
num=[10];den=[1 2 10];G=tf(num,den)
Wn=sqrt(10)   % 求取无阻尼振荡频率
E=1/Wn            % 求取阻尼比
[r,p,k]=residue(num,den);% 求取闭环极点
p
C=dcgain(G)   % 求取稳态值
[y,t]=step(G);
plot(t,y),grid
title('Unit-Step Response of G(s)=10/(s^2+2s+10)')
[Y,k]=max(y)  % 计算峰值、峰值时间
timetopeak=t(k)
overshoot=100*(Y-C)/C  % 计算超调量
n=1;
while y(n)<C
n=n+1;
end
risetime=t(n)    % 计算上升时间
i=length(t);
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)
i=i-1;
end
setllingtime=t(i)% 计算调节时间

2-4

1.

clc,clear
syms Wn;
num1=[1];
den1 =[1 2*0   1];
den2 =[1 2*0.1 1];
den3 =[1 2*0.2 1];
den4 =[1 2*0.3 1];
den5 =[1 2*0.4 1];
den6 =[1 2*0.5 1];
den7 =[1 2*0.6 1];
den8 =[1 2*0.7 1];
den9 =[1 2*0.8 1];
den10=[1 2*1.0 1];
den11=[1 2*2.0 1];

t=[0:0.1:10];
[y1,x,t]=step(num1,den1,t);
[y2,x,t]=step(num1,den2,t);
[y3,x,t]=step(num1,den3,t);
[y4,x,t]=step(num1,den4,t);
[y5,x,t]=step(num1,den5,t);
[y6,x,t]=step(num1,den6,t);
[y7,x,t]=step(num1,den7,t);
[y8,x,t]=step(num1,den8,t);
[y9,x,t]=step(num1,den9,t);
[y10,x,t]=step(num1,den10,t);
[y11,x,t]=step(num1,den11,t);

plot(t,y1,'-',t,y2,'--',t,y3,'--',t,y4,'--',...
    t,y5,'--',t,y6,':',t,y7,'--',t,y8,'+',...
    t,y9,'--',t,y10,'--',t,y11,'-.'),grid
xlabel('time[sec]'),ylabel('step response')

由图可知，当 =1rad/s，  分别为 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1.0, 2.0 时的单位阶跃响应曲线中，=0.4到0.8时（‘＋’线附近）性能最好。

=0时是无阻尼二阶系统，单位阶跃响应是一条平均值为1的余弦形式的等幅振荡曲线，
0<<1的范围内是欠阻尼二阶系统，随着的增大，单位阶跃响应的为衰减的余弦振荡曲线，振荡幅度逐渐减小；
=1时为临界阻尼二阶系统，单位阶跃响应没有了振荡，是一条稳态值为1的无超调单调上升的曲线；
>1时为过阻尼二阶系统，随着的增大，单位阶跃响应为上升的非振荡曲线，斜率随着的增大，逐渐减小。

在过阻尼和临界阻尼的响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快。在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，在=0.4-0.8时超调量适度，调节时间较短，故通常可在此范围内的选取。

2.

clc,clear

num1=[2.^2];
num2=[4.^2];
num3=[6.^2];
num4=[8.^2];
num5=[10.^2];
num6=[12.^2];

den1 =[1 2*0.6*2  2.^2];
den2 =[1 2*0.6*4  4.^2];
den3 =[1 2*0.6*6  6.^2];
den4 =[1 2*0.6*8  8.^2];
den5 =[1 2*0.6*10 10.^2];
den6 =[1 2*0.6*12 12.^2];


t=[0:0.1:5];
[y1,x,t]=step(num1,den1,t);
[y2,x,t]=step(num2,den2,t);
[y3,x,t]=step(num3,den3,t);
[y4,x,t]=step(num4,den4,t);
[y5,x,t]=step(num5,den5,t);
[y6,x,t]=step(num6,den6,t);

plot(t,y1,'-',t,y2,'--',t,y3,'--',...
t,y4,'--',    t,y5,'--',t,y6,':'),grid
xlabel('time[sec]'),ylabel('step response')

由图可知，当 =0.6, n 分别为 2， 4， 6， 8， 10， 12rad/s 时的单位阶跃响应曲线中，随着n的增大，上升时间越短，峰值时间越快到达，调节时间越短，性能越好。

2-5

clc,clear
num1=[16.41 16.41*1.95];
den1=[1 12 38 52 32];

num2=[1];
den2=[0.5 1 1];

t=[0:0.1:10];
[y1,x,t]=step(num1,den1,t);
[y2,x,t]=step(num2,den2,t);
plot(t,y1,':',t,y2,'--'),grid
xlabel('time[sec]'),ylabel('step response')

2-6

clc,clear
num=[1 2 3 2 1];den=[1 2 6 7 3 1];
G=tf(num,den);
pzmap(G);%利用 pzmap 绘制连续系统的零极点图；
pole=roots(den)%利用 roots 求分母多项式的根来确定系统的极点
[z,p,k]=tf2zp(num,den)%利用 tf2zp 求出系统零极点；

pole =
-0.2939 + 2.1097i
-0.2939 - 2.1097i
-1.0000 + 0.0000i
-0.2061 + 0.4218i
-0.2061 - 0.4218i
z =
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
p =
-0.2939 + 2.1097i
-0.2939 - 2.1097i
-1.0000 + 0.0000i
-0.2061 + 0.4218i
-0.2061 - 0.4218i
k =
1

零极点图如上图所示，由图和计算结果可知，该系统的所有极点均不具
有正实部，故系统稳定。