这几天刚刚开始学习MATLAB的面向对象编程。以前做的事情都是用MATLAB写一些简单的脚本或者函数，这方面MATLAB成熟的函数和直截了当的矩阵运算方法和语法都很容易上手，方便人专注于算法本身。前几天写代码的时候想到，在实际用MATLAB进行数值计算时，将数据和函数用一些方法组织起来也会带来很大的便利，否则零散的数据和函数总归看着不舒服。比如，我恰好最近想在MATLAB里面写一点代码让应力张量相关的计算变得简洁一些。

一、应力张量示例的物理背景

　　在弹性力学里，应力张量是描述弹性体内部某一点的应力状况的；它和过该点且法向量为 $\hat{n}$ 的面上的应力（矢量）关系是：$$\boldsymbol{t}=\boldsymbol{T}\cdot \hat{n}=\hat{n}\cdot \boldsymbol{T}$$　　这里粗写的 $\boldsymbol{t}$ 是应力矢量；粗写的 $\boldsymbol{T}$ 是应力张量，是一个二阶张量，可以表示为一个三维矩阵。应力张量显然不是一个可以直接观测/测量的量，对于一般理解来说，应力矢量显然是一个更为直观、物理意义更加明确的物理量，因此已知应力张量求应力矢量应当是一个很基本的操作。

　　已知应力张量，求某一个面上的正应力和剪应力大小的方法是：$$\sigma_n=\hat{n}\cdot \boldsymbol{T}\cdot \hat{n},\quad \tau_n=\sqrt{|\boldsymbol{t}|^2-\sigma_n^2}$$　　正应力就是应力矢量和面的法向量再做一次内积，也可以看成是应力张量和法向量的二次内积。剪应力和正应力方向正交，其矢量和为应力矢量，因此用勾股定理就能得到其大小。在弹性材料中，剪应力往往是非常重要的一个物理量，因为许多材料（比如岩石等）都有抗压不抗剪的特点，剪应力的大小将直接决定这些材料是否会发生破裂、如何（沿哪个方向）发生破裂。所以已知应力张量求正应力和剪应力也是很基本的一个操作。

　　此外，弹性体中的应力张量总是可以改写成主轴坐标系的形式，其物理意义是总是存在三个正交的主应力方向，以这三个主应力方向为坐标轴表示，则应力张量剪切分量均为零；其数学意义是应力张量总是可以对角化。在主应力坐标轴下表示有特别的简洁性，从而有一些好处，因此求出应力张量的主应力方向和主应力大小都具有重要的意义。

　　现在，我有了三个想要实现的操作。当然，因为MATLAB直观人性化的矩阵运算语法，这三个操作在脚本里都很容易实现。比如，我现在有一个应力张量 T，三个操作分别可以用以下的代码实现：

% 求应力矢量，要求为行向量
t = (T * n).\';    % 若n为列向量
t = n * T;    % 若n为行向量

% 求正应力
sigma = n.\' * T * n;    % 若n为列向量
sigma = n * T * n.\';    % 若n为行向量
% 求剪应力
tau = sqrt(norm(t)^2 - sigma^2);

% 求主应力及其对应方向
[V, D] = eig(T);

　　看起来似乎也不复杂，但是这个存在四个不足之处：（一） 求应力矢量和求正应力时必须要判断输入的n是行向量还是列向量，如果每次写一个判断分支语句非常麻烦；（二）求剪应力必须以求正应力为基础，这意味着每次求剪应力都需要手写一遍求正应力的操作，这也包括判断语句；（三）主应力的求解结果为两个矩阵，如果想要直接得到“主应力-主应力方向”的结构怎么办呢？（四）表达不直观，可读性比较差。

　　这些不足之处可以用自定义函数来解决，写一个function把代码放进去就可以了。但是这样又有一个问题：这几个操作还是没有发生关联！我们不知道这几个操作都是对于同一个物理量——应力张量进行的操作。如果能像C/C++/Python那样放个类来存放这些函数，然后再用T.X()这样的方法调用岂不是美滋滋？这就是要学习——

二、定义应力张量的MATLAB类

　　现在，利用MATLAB中的“类”，将应力张量的几个操作集合到一起。那么首先，需要定义一个MATLAB类：

% stressTensor.m
% 关键词classdef，后跟一个自定义类名，存放属性和方法，以end结束
classdef stressTensor
    %    应力张量(stressTensor)类

    % 关键词properties：用来存放类的属性（成员变量），以end结束
    properties
        tensorMat
    end

    % 关键词methods：用来存放类的方法（成员函数），以end结束
    methods
        % 关键词function：这个见过很多遍了，就是用来定义函数的，写法和直接定义函数一样，以end结束
        % 下为构造函数，名称和类名称相同，返回值必须是stressTensor类，因此在书写时可以直接写"item.tensorMat"，即访问其作为stressTensor类具有的成员变量
        function item = stressTensor( A )
            if nargin == 0
                item.tensorMat = zeros(3, 3);
            else
                item.tensorMat = A;
            end
        end
    end
end

　　在定义一个类的时候，至少要定义一个构造函数（正如上文已经实现的），否则可能根本无法生成一个实例。这里有个小技巧，在函数中nargin是一个特殊的关键词，它的涵义可以理解为：n-arguments-input，即传入参数的个数。利用nargin，可以在函数结构内部判断输入了几个参数，并且分别做出响应，这等于写一个函数就达到了函数重载的作用。除此之外，MATLAB的函数在定义其实现方法时，可以采用可变参数列表varargin（即 variable-arguments-input），这可以使得无需指明可能的参数个数（更别提类型），在函数结构内部再进行识别和操作。当然，可以想见此时的varargin肯定不是普通的只能组织浮点数数据的向量；它必须能够组织多种多样的数据——元胞数组(cell)。

　　存放类的定义的文件一般和类同名(stressTensor.m)；在该文件内部需要指明类的属性（成员变量），在“属性(properties)”关键词下完成（见上代码）；指明类的方法（成员函数），在“方法(methods)”关键词下完成（同见上代码）。比如，求应力矢量、求正应力、求剪应力：

function stress = getStress( obj, direction )
    % 求应力矢量
    % 输入一个参数：待求面法向量direction；
    % 返回：该面上应力矢量stress（行向量）
    direction = direction / norm(direction);
    if size(direction, 1) > 1
        stress = (obj.tensorMat * direction).\';
    else
        stress = direction * obj.tensorMat;
    end
end

function stressNorm = getNormal( obj, vec )
    % 求正应力
    % 输入一个参数：待求面法向量vec；
    % 返回：该面上正应力stressNorm（行向量）
    normVal = obj.getNormalVal(vec);
    stressNorm = normVal*vec/norm(vec);
end

function stressShear = getShear( obj, vec )
    % 求剪应力
    % 输入一个参数：待求面法向量vec；
    % 返回：该面上剪应力矢量stressShear（行向量）
    vunit = vec/norm(vec);
    stress = obj.getStress(vec);
    stressVal = dot(stress, vunit);
    stressNorm = stressVal*vunit;
    stressShear = stress - stressNorm;
end

　　以及求主应力的方法：

function pAxis = principalAxis(obj)
    % 求主应力及其对应方向
    % 空输入；返回一个3*2元胞数组，第i行为：第i个主应力-第i个主应力对应方向
    pAxis = cell(3, 2);
    A = obj.tensorMat;
    [eigvec, eigval] = eig(A);
    pStress = diag(eigval);
    for i = 1:3
        pAxis{i, 1} = pStress(i);
        pAxis{i, 2} = eigvec(:, i).\';
    end
end

　　我们注意到在类的函数中有参数obj，这个词表明该函数中需要调用类自身的其他函数或成员变量，这和python中但凡是从属于类的方法（成员函数），在定义类的过程中必须要包含self这个参数所起的作用是相同的。C++中用法类似的是类自身指针this，但是在参数中并不需要包含。包含了obj参数以后就可以在function内部调用自身的属性和方法了，所用的语法分别是obj.property和obj.method(arguments)。就我所知，MATLAB中类函数的定义中obj不是强求包含的，但是如果不包含，这个函数放在类中的意义就不明确了，除类内重载的函数外，往往可以放在类外（对比Python的静态(static)函数）。

三、类函数的重载和运算符重载

　　最后，谈到MATLAB就不能不谈到数值计算，即使是面向对象编程也不例外；谈到数值计算，就必须谈到运算符重载，因为只有这样才能真正地把自己写的类融入到MATLAB的一套运算语法中去。MATLAB里的运算符重载比其他许多语言都显得直截了当得多，因为它的每个运算符都对应一个函数，这个函数和普通的函数没有什么区别。比如+运算符，对应的函数文件就是plus.m，函数名即plus。因此在自定义类中，运算符重载和函数重载别无二致，只要重写一个位于这个类下的同名方法即可，例如：

function result = plus( obj1, obj2 )
    A = obj1.tensorMat + obj2.tensorMat;
    result = stressTensor(A);
end

　　只要确定plus是从属于stressTensor的方法，就实现了+运算符重载。

　　具体有哪些运算符可以重载，对应的函数名是什么可以参见运算符重载参考页。或者下面这个很大的表也提供了相应的信息：

四、检验和实际调用

　　接下来，只需要把以上这一系列函数放在类定义体(classdef stressTensor)的方法(methods)关键词下就可以了。我们可以写一个脚本调用：

import stressTensor.*;    % 首先，import这个类及其内容，可使用通配符.*导入类下的所有内容
T1 = stressTensor();    % 无参构造函数，参见以上构造函数定义时nargin==0的情形
A = 3*eye(3) + diag([1, 2], 1) + diag([1, 2], -1);
T2 = stressTensor(A);    % 含参构造函数
T = T1 + T2;    % 调用重载的加法
disp(T.tensorMat);    % 显示此时的应力张量
%    输出：
%     3     1     0
%     1     3     2
%     0     2     3
v = [1, 1, 1];
stress = T.getStress(v);    % 调用求应力矢量的方法
disp(stress);
%    输出：
%    2.3094    3.4641    2.8868
disp(T.getShearVal(v));    % 调用求剪应力的方法
%    输出：
%   -0.5774    0.5774   -0.0000　　

　　得到的结果符合预期。

五、类函数拆分为文件和组织方式

　　最后，关于文件的拆分。

　　一个类也许会很大，包含一些属性和数量庞大和规模庞大的方法，这肯定会造成我们刚刚写的stressTensor.m这样储存类的信息的文件越来越大、越来越乱，不便于管理。对此，C++的处理方法是，将类的定义和类函数的声明放在头文件里，函数的实现放在源文件里，而且可以通过多个源文件完成函数实现。MATLAB更简单，所有的函数都可以原封不动地拆出来，把所有的代码剪切到一个新文件里就行了，新文件的文件名设置为函数的名称。但是！为了让MATLAB编辑器明白它们都是从属于一个类的函数，所有关于一个类的方法和这个类的定义本身需要放在一个文件夹里，这个文件夹的名字为“@"+类名，@是为了让编译器明白这是一个类的文件夹；比如之前的应力张量，文件夹名为"@stressTensor"。下图就是我的这个stressTensor类的组织方式。