Logistic曲线的参数估计

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       1844或1845年，比利时数学家Pierre François Verhulst提出了logistic方程，这是一个对S型曲线进行数学描述的模型。一百多年来，这个方程多次应用于一些特殊的领域建模与预测，例如单位面积内某种生物的数量、人口数量等社会经济指标、某种商品（例如手机）的普及率等。

logistic方程定义如下：

                                                                                                                        (1)

其中，t通常表示时间变量， 为模型的参数；当趋势比较完整时   a>0  b<0  c>0；其曲线如图1所示：

根据1图和(1)方程式得：当时， ；当 时， 。为了研究Logistic曲线的增长特性，对(1)式求导一阶导数得：

设xt（t=1, 2, …, n）为观测样本，对于logistic方程的参数，常规的估计方法有三种。

1.1、Yule算法：

                                                                                     (2)

根据式（1）有,，以及则式（2）变形为线性方程，利用普通最小二乘（OLS）方法可以得到这个方程参数的估计值，b和c的估计值也可以进一步得到。

为得到a的估计值，将式（1）变形为：

1.2、Rhodes算法：

根据式（1），有

普通最小二乘（OLS）方法得到这个方程参数的估计值，并进一步得到b和c的估计值，然后利用式（3）-式（5）的方法得到a的估计值

1.3、Nair算法：

（2）式可以进一步写为：

2.、matlab算法实现

中国1965-2011年CO2排放量（单位：亿吨）如表1所示：(备注：这是上课老师给的数据)

表1中国1965-2011年CO2排放量

用logistic方程模拟我国CO2排放量的变化趋势，分别用三种方法估计方程参数，并分别计算三种方法的MAPE及未来五年CO2排放量的预测结果。

2.1.Yule算法:

2.2.Rhodes算法：

2.3.Nair算法：

根据编程计算，三种方法参数估计的结果及MAPE如表1所示：

三种方法的参数估计结果及误差分析结果

三种方法对未来五年CO2排放量的预测结果（单位：百万吨）如表2所示：

 中国CO2排放量的预测结果

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