实验目的
用Matlab实现非线性方程的Aitken加速法、牛顿法、简化牛顿法和牛顿下山法。
实验要求
- 给出Aitken加速法、牛顿法、简化牛顿法和牛顿下山法算法。
- 用Matlab实现Aitken加速法、牛顿法、简化牛顿法和牛顿下山法。
实验内容
实验步骤
（1）Aitken加速算法，
MATLAB编程，
1 %Aitken算法 2 %迭代函数fun，初始值x，精度ep，最大迭代次数Nmax。 3 %满足精度（或已达到最大迭代次数）的近似根root，迭代次数k。 4 function [root,k]=Aitken(fun,x,ep,Nmax) 5 %默认迭代次数和默认精度 6 if nargin<4 7 Nmax=500; 8 end 9 if nargin<3 10 ep=1e-5; 11 end 12 %初始化 13 k=0; 14 r(1,1)=x; 15 %迭代 16 while abs(x-fun(x))>ep 17 xk=x; 18 x=fun(x); 19 x1=x; 20 x=fun(x); 21 x2=x; 22 x=x2-(x2-x1)^2/(x2-2*x1+xk); 23 k=k+1; 24 r(k+1,1)=x; 25 end 26 %root=x; 27 root=r(:,1); 28 if k==Nmax 29 warning(\'已迭代上限次数\'); 30 end 31 end
运行示例（为了减小篇幅，初始值的选取由下面的讨论得到），
当初始值为10时，节选截图,
可见该算法迭代了3610次，这个结果的好坏需要与其他算法对比，使用上一个实验所编写的bisect3.m（改进的二分法）：
可见迭代20次，已经接近所要求的近似根了。
为了了解该算法的特点，本报告对算法进行修改：缩小区间，再使用Aitken算法迭代。分析：易知上述到Aitken算法的时间复杂度与精度有关（O(g(e))，e的变化受迭代函数影响），初始值越接近所要求的近似根，运算的步骤越少。所以对初始值做处理是有必要的，这里如果使用20次2分法预报初值时，精度可以达到0.5^20，约1e-6。
1 %Aitken1算法 2 %迭代函数fun，初始值x，精度ep，最大迭代次数Nmax。 3 %满足精度（或已达到最大迭代次数）的近似根root，迭代次数k。 4 function [root,k]=Aitken1(fun,n,ep,Nmax) 5 %默认迭代次数和默认精度 6 if nargin<4 7 Nmax=500; 8 end 9 if nargin<3 10 ep=1e-5; 11 end 12 [x,k]=bisect3(fun,0,n,1e-4); 13 if abs(fun(x))<ep 14 root=x; 15 k=0; 16 return; 17 end 18 %初始化 19 r(1,1)=x; 20 %迭代 21 while abs(x-fun(x))>ep 22 xk=x; 23 x=fun(x); 24 x1=x; 25 x=fun(x); 26 x2=x; 27 x=x2-(x2-x1)^2/(x2-2*x1+xk); 28 k=k+1; 29 r(k+1,1)=x; 30 end 31 %root=x; 32 root=r(:,1); 33 if k>=Nmax 34 warning(\'已迭代上限次数\'); 35 end 36 end
1 %二分法改良 2 %在一开始给定的区间中寻找更小的有根区间 3 %输入：f(x)=0的f(x)，[a,b]的a,b，精度ep 4 %输出：近似根root，迭代次数k 5 %得到的根是优化区间里的最大根 6 function [root,k]=bisect3(fun,a,b,ep) 7 if nargin>3 8 elseif nargin<4 9 ep=1e-5;%默认精度 10 else 11 error(\'输入参数不足\');%输入参数必须包括f(x)和[a,b] 12 end 13 %定义划分区间的分数 14 divQJ=1000; 15 %等分区间 16 tX=linspace(a,b,divQJ); 17 %计算函数值 18 tY=fun(tX); 19 %找到函数值的正负变化的位置 20 locM=find(tY<0); 21 locP=find(tY>0); 22 %定义新区间 23 if tY(1)<0 24 a=tX(locM(end)); 25 b=tX(locP(1)); 26 else 27 a=tX(locP(end)); 28 b=tX(locM(1)); 29 end 30 if fun(a)*fun(b)>0%输入的区间要求 31 root=[fun(a),fun(b)]; 32 k=0; 33 return; 34 end 35 k=1; 36 while abs(b-a)/2>ep%精度要求 37 mid=(a+b)/2;%中点 38 if fun(a)*fun(mid)<0 39 b=mid; 40 elseif fun(a)*fun(mid)>0 41 a=mid; 42 else 43 a=mid;b=mid; 44 end 45 k=k+1; 46 end 47 root=(a+b)/2; 48 end
运行示例，
0的部分表示调用bisect3.m（精度要求1e-4），在bisect3.m迭代的次数为7，在Aitken部分迭代的次数为5。总共迭代12次远比3610次小。
对【题目】的解答，为 MATLAB编程，
1 %牛顿法 2 %输入：迭代函数fun,迭代函数的导函数dfun，初始值x，精度ep，最大迭代值Nmax。 3 %输出：近似根root，迭代次数k，迭代成功与否index。 4 function [root,k]=Newton2(fun,dfun,x0,ep,Nmax) 5 %默认迭代次数和默认精度 6 if nargin<5 7 Nmax=500; 8 end 9 if nargin<4 10 ep=1e-5; 11 end 12 %初始化 13 k=0; 14 x=x0;x0=x+2*ep; 15 %迭代 16 while abs(x0-x)>ep 17 k=k+1; 18 x0=x; 19 x=x0-fun(x0)/dfun(x0); 20 end 21 root=x; 22 if k>=Nmax 23 warning(\'已迭代上限次数\'); 24 end 25 end
运行示例，
所以解得【题目】，（与上述的改进二分法求得的结果相近）。
MATLAB程序，
1 %牛顿平行弦法 2 %输入：迭代函数fname，迭代函数的一阶导函数dfname，初始值x0，精度ep，最大迭代值Nmax。 3 %输出：近似根root，迭代次数k，迭代成功与否index。 4 function [root,k,index]=newton4(fname,dfname,x0,ep,Nmax) 5 %默认迭代次数和默认精度 6 if nargin<5 7 Nmax=500; 8 end 9 if nargin<4 10 ep=1e-5; 11 end 12 %初始化 13 index=0;k=1;c=1/dfname(x0);x=x0; 14 while k<Nmax 15 x1=x-c*fname(x); 16 if abs(x1-x)<ep 17 break; 18 end 19 x=x1; 20 k=k+1; 21 end 22 if 0<c*dfname(x) && c*dfname(x)<2 23 root=x; 24 index=1; 25 else 26 root=x; 27 index=0; 28 disp(\'不满足收敛条件\'); 29 end 30 if k==Nmax 31 warning(\'已迭代上限次数\'); 32 end 33 end
运行示例，
所以解得【题目】，（效果与牛顿法相近）。
MATLAB编程，
1 %牛顿下山法 2 %输入：迭代函数fname，迭代函数的一阶导函数dfname，初始值x0，精度ep，最大迭代值Nmax。 3 %输出：近似根root，迭代次数k，%此处不展示函数迭代值单调变化f。 4 function [root,k]=newton3(fname,dfname,x0,ep,Nmax) 5 %默认迭代次数和默认精度 6 if nargin<5 7 Nmax=500; 8 end 9 if nargin<4 10 ep=1e-5; 11 end 12 %初始化 13 k=0;x=x0-fname(x0)/dfname(x0); 14 %f=abs(fname(x0)); 15 %迭代 16 while abs(x0-x)>ep && k<Nmax 17 k=k+1; 18 r=1; 19 while abs(fname(x))>abs(fname(x0)) 20 r=r/2; 21 x=x0-r*fname(x0)/dfname(x0); 22 if abs(fname(x))<abs(fname(x0)) 23 break; 24 end 25 end 26 x0=x; 27 x=x0-fname(x0)/dfname(x0); 28 %f=abs(fname(x0)); 29 end 30 root=x; 31 if k==Nmax 32 warning(\'已迭代上限次数\'); 33 end 34 end
运行示例，
所以，解得【题目】，（效果与牛顿法相差不大）。
总结解得的近似根，
- ,代入原式，1.4355526.
- 3.4.,代入原式，-1.009655。总体来说，后面3种算法都比第1种算法更高效。
小结
在解第1题时，本报告对初始值的选取进行了一些讨论。使用二分法锁定耙子固然简单，但是二分法对区间也是有要求，起码是有根区间（在改进二分法中有根区间的限制可以放宽一点），例如，上题我的修改是（0到n）作为瞄准的区间，如果该题的根在负轴上呢？总而言之，初始值的优选区间也是一个值得讨论的问题。第2个值得讨论的问题是，不同算法的混用能否获得更好的结果？
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