实验目的

　　熟悉掌握微分方程的求解；会运用Matlab软件求微分方程的数值解;会运用Matlab软件做简单的编程。

实验要求

　　实验步骤要有模型建立，模型求解、结果分析。

实验内容

 （一）微分方程精确解

1. 求解微分方程y\'=x+x³ ,并作出其积分曲线.
   
2. 求解微分方程y\'-(2y/x+1)=(x+1)^(5/2)，并作出其积分曲线。

 （二） 微分方程的数值解

　　在区间[1，4]上求出微分方程xy\'-x²ysinx+1=0,y|_x=1=1,的数值解，并作出数值解的图形。

实验步骤

 （一）已知题目要求为解出微分方程的精确解，本报告使用MATLAB的dsolve()函数求其解析解，dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,…,’初始条件’,’自变量’)。

　　解：（1）本文使用MATLAB求解，在做其积分曲线时，取x从0到1的区间，常数项从-10到10，代码

1 %题1
2 y=dsolve(\'Dy=x+x^3\',\'x\');
3 figure(1);hold on
4 for C11=-10:1:10
5 x=(0:.1:1);
6 plot(x,C11+(x.^2.*(x.^2 + 2))./4,\'LineWidth\',2)
7 end

　　步骤：

　　1、求出微分方程的通解

　　>> y=dsolve(\'Dy=x+x^3\',\'x\')

　　y =

　　C11 + (x^2*(x^2 + 2))/4

　　2、作图，运行上述代码

　　因此解得y=x²(x²+2)/4+c₁₁，积分曲线如上示。当然使用Mathematica求解如下

1 DSolve[y\'[x] == x + x^3, y[x], x]
2 t = Table[c + (1/2)*x^2 + (1/4)*x^4, {c, -3, 3}];
3 Plot[Evaluate[t], {x, -1.5, 1.5}]

　　运行示例　　

　　{{y[x] -> x^2/2 + x^4/4 + C[1]}}　

　　（2）步骤同上，代码

1 y=dsolve(\'Dy-(2*y)/(x+1)=(x+1)^(5/2)\',\'x\');
2 figure(1);hold on
3 for C13=-10:1:10
4 x=(0:.1:1);
5 plot(x,(2.*(x + 1).^(7/2))/3 + C13.*(x + 1).^2,\'LineWidth\',2);
6 end

　　运行示例

　　>> y=dsolve(\'Dy-(2*y)/(x+1)=(x+1)^(5/2)\',\'x\')

　　y =

　　(2*(x + 1)^(7/2))/3 + C13*(x + 1)^2

　　曲线积分

　　解得，，图上示。

1 DSolve[y\'[x] - 2*y[x]/(x + 1) == (x + 1)^(5/2), y[x], x]
2 t = Table[(x + 1)^2*(2 (x + 1)^(3/2)/3 + c), {c, -3, 3, 2}];
3 Plot[Evaluate[t], {x, -1, 2}]

　　运行示例

　　{{y[x] -> 2/3 (1 + x)^(7/2) + (1 + x)^2 C[1]}}

 （二）微分方程的数值解

　　解：数值解，本报告使用MATLAB的ode45函数，步骤如下

　　先编写函数odefun.m如下

1 function dy=odefun(x,y)
2 %dy=0;
3 dy=x*y*sin(x)-1/x;
4 end

　　再编写如下代码

1 %题二
2 [T,Y]=ode45(\'odefun\',1:.01:4,1);
3 plot(T,Y(:,1),\'-o\')

　　运行示例

 　　使用Mathematica求解如下

1 Clear[f, x]
2 sol = NDSolve[{x*y\'[x] - x^2*y[x]*Sin[x] + 1 == 0, y[1] == 1}, 
3   y[x], {x, 1, 4}]
4 f[x_] := Evaluate[y[x] /. sol]
5 Plot[f[x], {x, 1, 4}, PlotRange -> All]

小结

　　在使用MATLAB求解常微分问题之前，最好先学会手算，否则可能会出现学会了使用MATLAB求解常微分的问题，却不知到得到的答案是什么意思。