我们首先研究关节坐标的微小变化如何影响末端执行器的位姿。使用齐次坐标变换表示位姿，我们可以通过一个一阶微分近似得到位姿相对于关节坐标的导数：
$\dfrac{\text{d}T}{\text{d}q}\approx\dfrac{T(q+\delta_q)-T(q)}{\delta_q}$根据 $T$ 的定义，可以得到
$\tag{1} \dfrac{\text{d}T}{\text{d}q}\approx\dfrac{1}{\delta_q} \left( \begin{matrix} R\left( q+\delta _q \right) -R\left( q \right)& \begin{array}{c} \delta _x\\ \delta _y\\ \delta _z\\ \end{array}\\ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ \end{matrix}& 0\\ \end{matrix} \right)$其中，$(\delta_x,\delta_y,\delta_z)$ 表示末端执行器的平移位移。下面我们举个例子

>> mdl_puma560
>> T0 = p560.fkine(qn);
>> dq = 1e-6;
>> Tp = p560.fkine(qn + [dq 0 0 0 0 0]);
>> dTdq1 = (Tp - T0) / dq
dTdq1 =
    0.0000   -1.0000   -0.0000    0.1500
   -0.0000   -0.0000    1.0000    0.5963
         0         0         0         0
         0         0         0         0

得到的 矩阵显然不是齐次变换矩阵，其左上角的 $3\times3$ 矩阵不是正交矩阵，右下角元素不为1。这说明了什么呢？

我们将dTdq1中的第四列元素与方程 $(1)$ 的矩阵中相应元素相等，得到
$\left( \begin{array}{c} \delta _x\\ \delta _y\\ \delta _z\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 0.1500\\ 0.5963\\ 0\\ \end{array} \right) \delta _{q_1}$
它代表了 $q_1$ 的变化引起的末端执行器位置的变化。

从图中我们能更容易地理解——腰关节（$q_1$）的一个微小的旋转将使得末端执行器在世界坐标系水平的 $xy$ 平面内移动，但却不产生垂直方向上的移动。

>> Tp = p560.fkine(qn + [0 dq 0 0 0 0]);
>> dTdq2 = (Tp - T0) / dq

dTdq2 =

    1.0000   -0.0000   -0.0000    0.0144
    0.0000         0    0.0000         0
    0.0000    0.0000    1.0000    0.5963
         0         0         0         0

同样可以写出
$\left( \begin{array}{c} \delta _x\\ \delta _y\\ \delta _z\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 0.0144\\ 0\\ 0.5963\\ \end{array} \right) \delta _{q_2}$
正如我们所预料的，肩关节 $q_2$ 的一个微小转动会引起末端执行器在垂直的 $xz$ 平面内的运动，而没有 $y$ 方向运动。等式两边同除以一个无限小的时间长度 $\delta_t$，则得到关节角速度和末端执行器速度之间的一个关系：
$\left( \begin{array}{c} \dot x\\ \dot y\\ \dot z\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 0.0144\\ 0\\ 0.5963\\ \end{array} \right) {\dot q_2}$
现在考虑方程 $(1)$ 的矩阵中左上方的 $3×3$ 子矩阵。我们将其乘以 $\delta_q/\delta_t$ ，从而得到 $R$ 的一阶近似导数：
$\dot{R}\approx \left( \frac{R\left( q+\delta _q \right) -R\left( q \right)}{\delta _q} \right) \frac{\delta _q}{\delta _t}$