摘要

倒立摆系统是由导轨、小车和各级摆杆组成。小车依靠直流电机施加的控制力,可以在导轨上左右移动,位移和摆杆角度信息由传感器测得,目标是使倒立摆在有限长的导轨上竖立稳定, 达到动态平衡。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。

针对问题一，我们对系统的物理方程进行了处理，把它化成状态空间表达式标准型，然后利用MATLAB里面的函数ss2tf,c2dm分别计算出系统的连续传递函数和采样时间为0.001时的离散传递函数，并用bode函数画出了系统的波特图。

针对问题二，当模型参数不变化时，直接用step函数画出系统的阶跃响应图，当杆的长度随时间变化时，采用ODE方法画出系统的阶跃响应图，同时也用simulink仿真出系统的阶跃响应。

针对问题三，采用eig函数求出状态矩阵的特征根，根据根与0的大小关系判断系统的稳定性，发现，存在根大于0，所以系统不稳定；采用lyap函数通过李雅普洛夫方程计算Q矩阵，发现方程无解，所以系统不稳定；采用LMI工具箱的方法，计算得出tmin>0,不符合LMI方程，所以系统不稳定。

针对问题四，采用构造矩阵的方法，计算构造矩阵的秩，得出构造矩阵的秩均等于矩阵的维数，所以系统完全能控能观。

针对问题五，采用simulink仿真的方法，采用两个PID控制器对输入进行控制，当采用尝试法取得PID1的Kp=-2000,Ki=100.Kd=-100，PID2的Kp=1000,Ki=20,Kd=100时，系统稳定。

关键词：倒立摆、MATLAB、SIMULINK仿真、PID控制、系统稳定性

1、问题重述

倒立摆用铰链安装在伺服电动机驱动的小车上。在无外力作用时，倒立摆不能保持在垂直位置而会左右倾倒，为此需给小车在水平方向上施加适当的作用力u 。

对于该倒立摆系统，完成如下系统分析与设计问题：

1.建立其状态空间模型，采用MATLAB命令求出其传递函数的连续和离散形式（采样时间0.001秒），画出系统Bode图；

2.   ①不考虑模型参数变化时，画出系统的单位阶跃响应曲线；

      ②由于外界环境变化和测量仪器的误差，杆的长度随时间发生如下变化时，利用ODE方法或Simulink方法画出系统的单位阶跃响应曲线；

3.用三种方法（特征根、Lyapunov方程、LMI）分析该系统的稳定性；

4.分析系统的能控性和能观性；

5.用PID控制，实现系统的稳定，并画出闭环系统输出z的曲线。

2、符号说明与假设

表1：符号说明

表2：假设说明

3、问题分析

在无外力作用时，倒立摆不能保持在垂直位置而会左右倾倒，为此需给小车在水平方向上施加适当的作用力u，则摆杆重心的水平、垂直坐标分别为 。忽略摆杆质量，则系统的重心近似位于摆锤重心，且系统围绕其重心的转动惯量 近似为0。

图2 受力图

此时倒立摆系统的运动可分解为重心的水平运动、重心的垂直运动及绕重心的转动这3个运动。根据牛顿动力学，可得:

小车的动力学方程为:

由以上各式可得：

又由于极小，所以可化简为：

最终整理可得倒立摆的线性系统模型：

输出

4、问题解决

4.1问题一

对于问题一，可以先建立系统的状态空间表达式，令

则

又因为M=1,m=0.1,l=0.5,g=10,带入上式，可得

即：

通过MATLAB程序运算，可得连续传递函数为：

采样时间0.001秒时的离散形式为：

系统的波特图通过MATLAB画出为：

图3 波特图

由波特图可知，系统的相角裕度为0，截止频率为0.955rad/s,所以系统不稳定。

4.2问题二

1.不考虑模型参数变化时，系统的阶跃响应如图：

图4 系统阶跃响应图

2. 由于外界环境变化和测量仪器的误差，杆的长度随时间发生如下变化 时，采用ODE方法的阶跃响应如图：

图5 ODE方法阶跃响应图

Simulink仿真原理图如下：

图6 仿真原理图

仿真结果如下：

图7 仿真结果图

4.3问题三

1.特征根法

计算结果如下：

w =

         0         0         0         0

         0         0         0         0

         0         0    4.6904         0

         0         0         0   -4.6904

可知，4.6904>0,所以系统不稳定。

2. Lyapunov方程方法

结果如下：

因为Lyapunov方程无解，所以不存在相对应的Q矩阵，所以系统不稳定。

3.LMI方法

结果如下：

因为tmin>0,所以表明 LMI 系统是不可行的，所以没有Q矩阵，即系统不稳定。

4.4问题四

对系统的能控性和能观性分析，可以运用构造矩阵的秩的大小来判断。能控性判据：对n维连续时间线性时不变系统，构成能控性判别矩阵：

则系统完全能控的充要条件是：

能观性判据为：对n维连续时间线性时不变系统，构成能观性判别矩阵：

则系统完全能观的充要条件为:

通过构造并用MATLAB计算，结果如下：

因为构造的为四阶矩阵，而秩均等于4，所以系统完全能控能观。

4.5问题五

运用simulink仿真系统的模型，并加入PID控制器，因为有两个输入，所以要加入两个PID控制器，仿真模型如下：

图8 PID控制

经过尝试法，调节两个PID的系数，当PID1的Kp=-2000,Ki=100.Kd=-100，PID2的Kp=1000,Ki=20,Kd=100时，系统稳定，仿真图如下：

图9 倒立摆角度控制仿真图

图10 小车位移仿真图

由图可知，倒立摆在运行之后，会出现一小会的不稳定，然后会一直处于稳定状态.