MatLab解线性方程组一文通(转帖)
当齐次线性方程AX=0,rank(A)=r<n时,该方程有无穷多个解,怎样用MATLAB求它的一个基本
解呢?
用matlab 中的命令 x=null(A, r )即可.其中:r=rank(A)
A=[ 1 1 1 1 -3 -1 1
1 0 0 0 1 1 0
-2 0 0 -1 0 -1 -2]
用matlab 求解程序为:A=[1 1 1 1 -3 -1 1;1 0 0 0 1 1 0;-2 0 0 -1 0 -1 -2];
r=rank(A);
y=null(A, r )
得到解为:
y=[ 0 -1 -1 0
-1 2 1 1
1 0 0 0
0 2 1 -2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1]
其列向量为Ay=0的一个基本解
MatLab解线性方程组一文通！
-------------------作者：liguoy（2005-2-3）
写在阅读本文前的引子。
一：读者对线性代数与Matlab 要有基本的了解；
二：文中的通用exp.m文件，你须把具体的A和b代进去。
一：基本概念
1． N级行列式A：|A|等于所有取自不同行不同列的n个元素的积的代数和。
2． 矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。
3． 线性无关：一向量组(a ,a ,…. a )不线性相关，即没有不全为零的数k ,k ,……kn
使得：k1* a +k2* a +…..+kn*an=0
4. 秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
5．矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。记：R(B)
6．一般线性方程组是指形式： ……（1）
其中x1,x2,…….xn为n个未知数，s为方程个数。记：A*X=b
7． 性方程组的增广矩阵： =
8. A*X=0 …. （2）
二：基本理论
消元法（理论上分析解的情况，一切矩阵计算的基础）
首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式”0=0”（如果出现的
话）去掉，1：如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零数，那么方程组无解；
否则有解，在有解的情况下，2：如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那
么方程组有唯一的解，3：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于是未知量的个数，那么方
程组就有无穷个解。
用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵
。化成阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形下，回到阶梯形方程组
去解。
定理1：线性方程组有解的充要条件为：R（A）=R（ ）
线性方程组解的结构：
1：对齐次线性方程组，a: 两个解的和还是方程组的解；b: 一个解的倍数还是方程组的解
。定义：齐次线性方程组的一组解u1,u2,….ui 称为齐次线性方程组的一个基础解系，如
果：齐次线性方程组的任一解都能表成u1,u2,….ui的线性组合，且u1,u2,….ui线性无关
。
2：对非齐次线性方程组
（I） 方程组（1） 的两个解的差是（2）的解。
（II） 方程组（1） 的一个解与（2）的一个解之和还是（1）的解。
定理2 如果r0是方程组（1）的一个特解，那么方程组（1）的任一个解r都可以表成：
r=ro+v…….(3)
其中v是（2）的一个解，因此，对方程（1）的任一特解ro,当v取遍它的全部解时，(3) 就
给出了（1）的全部解。
三：基本思路
线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解;一类是方程组求无穷解即通解
。
I） 判断方程组解的情况。1：当R（A）=R（ ）时 有解（R（A）=R（ ）>=n唯一解，R（
A）=R（ ）〈n,有无穷解〉；2：当R（A）+1=R（ ）时无解。
II） 求特解；
III） 求通解(无穷解), 线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的
一个特解；
注：以上针对非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，主要是用到I)、III)步！
四：基本方法
基本思路将在解题的过程中得到体现。
1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠
密矩阵 —— 直接法；一类是解大型稀疏矩阵 —— 迭代法。
1．1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）
方程：AX=b，解法：X=A"b，(注意此处’"’不是’/’)
例1-1 求方程组 的解。
解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’
由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（ ）>=n的情形，有唯一解。
>>X= A"b %求解 X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref
求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。
1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 ，这三种分解，在求解大型方程组
时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。
I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换
）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。
则：A*X=b 变成L*U*X=b
所以X=U"(L"b) 这样可以大大提高运算速度。命令 [L，U]=lu (A)
在matlab中可以编如下通用m 文件：
在Matlab中建立M文件如下
% exp1.m
A;b;
[L，U]=lu (A);
X=U"(L"b)
II）Cholesky分解
若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：
其中R为上三角阵。
方程 A*X=b 变成 所以
在Matlab中建立M文件如下
% exp2.m
A;b;
[R’，R]=chol(A);
X=R"(R’"b)
III）QR分解
对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形
式，即：A=QR
方程 A*X=b 变形成 QRX=b
所以 X=R"(Q"b)
上例中 [Q, R]=qr(A)
X=R"(Q"B)
在Matlab中建立M文件如下
% exp3.m
A;b;
[Q，R]=qr(A);
X=R"(Q"b)
2．求线性齐次方程组的通解(A*X=0)
在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A•X=0的解空间，实际上是求出解空
间的一组基（基础解系）。
在Matlab中建立M文件如下
% exp4.m
format rat %指定有理式格式输出
A;b=0;
r=rank(A);
bs=null(A，‘r’); %一组基含(n-r)个列向量
% k ,k ,……,k
% X= k *bs(:,1)+ k *bs(:,2)+……+ k *bs(:,n-r) 方程组的通解
pretty(X) %让通解表达式更加精美
3 求非齐次线性方程组的通解（A*X=b）
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。
因此，步骤为：
第一步：判断AX=b是否有解，(利用基本思路的第一条)
若有解则进行第二步
第二步：求AX=b的一个特解
第三步：求AX=0的通解
第四步：AX=b的通解为： AX=0的通解加上AX=b的一个特解。
在Matlab中建立M文件如下
% exp4.m
clear all
A;b; %输入矩阵A,b
[m,n]=size(A);
R=rank(A);
B=[A b];
Rr=rank(B);
format rat
if R==Rr&R==n % n为未知数的个数，判断是否有唯一解
x=A"b;
elseif R==Rr&R<n %判断是否有无穷解
x=A"b %求特解
C=null(A, r ) %求AX=0的基础解系,所得C为n-R列矩阵，这n-R列即为对
%应的基础解系
% 这种情形方程组通解xx=k(p)*C(:,P)(p=1…n-R)
else X= No solution! % 判断是否无解
end
