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Matlab解决线性规划问题 - The0Y

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Matlab解决线性规划问题

线性规划问题的实例与定义

某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。 生产甲机床需用 A、 B机器加工,加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时;生产乙机床需用A 、B、C三种机器加工,加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为 A机器 10 小时、B 机器 8 小时和C 机器 7 小时。问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大?

上述问题的数学模型:设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润z最大,则 x1,x2应满足

\[\max z=4000x_1+3000x_2\\ s.t.= \begin{cases} 2x_1+x_2\le10,\\ x_1+x_2\le8,\\ x_2\le7,\\ x_1,x_2\ge0. \end{cases} \]

其中:变量x1,x2称为决策变量。max表达式称为问题的目标函数,下面的不等式是问题的约束条件,记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数,故称为线性规划问题。

总之,线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。

线性规划的Matlab标准形式及软件求解

线性规划的目标函数可以是求最大值也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于等于也可以是大于等于。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matc lab中规定线性规划的标准形式为

\[\min f^Tx\\ s.t.=\begin{cases} A\sdot x\le b,\\ Aeq\sdot x=beq,\\ lb\le x\le ub.\\ \end{cases} \]

其中:f,x,b,beq,lb,ub为列向量,A,Aeq为矩阵。

调用形式

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %求最小值
[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%求最大值

输入变量

  • f为目标函数中的价值系数向量(注意如果要去求最大值,则全部加负号求最小值)
  • A为不等式约束系数矩阵
  • b为不等式右端常数向量
  • Aeq为等式约束系数矩阵
  • beq为等式右端常数向量
  • lb 为决策变量下界向量
  • ub为决策变量上界向量

在调用时,输入参数不存在时,可以将其输入用[]空矩阵表示

输出变量

  • x为最优解
  • fval为最优目标值

具体实例

  • 目标函数与约束条件

\[\max z=2x_1+3x_2-5x_3\\ s.t.=\begin{cases}x_1+x_2+x_3=7,\\2x_1-5x_2+x_3\ge10,\\x_1+3x_2+x_3\le12,\\x_1,x_2,x_3\ge0. \end{cases} \]

  • Matlab程序
f=[2;3;-5];
A=[1,1,1];
b=7;
A=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10;12];
Aeq=[1,1,1];
beq=7;
lb=zeros(3,1);%创建一个3X1的零矩阵 lb=[0,0,0]也可以
[x,y]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[]);
x,y=-y
  • 运行结果
Optimal solution found.


x =

   6.4286
   0.5714
        0


y =

  14.5714

鲜花

握手

雷人

路过

鸡蛋
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