二、多孔算法经验之谈

        但单单MALLAT算法够吗？答案否定的。我们必须找到两种算法的不同点。方可得心应手。这里我浅谈一二。

       首先，为什么MALLAT不具有移不变特点而TROUS具有移不变特点。根源就在抽取插值上。看这个系统Y(N)=X(2N)，它是不是移不变系统，显然不是。现在大家明白了吧。所以非抽取算法，是移不变的。而这个移不变所付出的代价，就是高频分量加低频分量长度再不是源信号的长度，而是源信号长度的2倍。

       其次，滤波器还是可以用，WFILTERS()。而且重构和分解滤波器的关系，还是逆序后再右移一位（圆周卷积+周期延托）。但所有的滤波器系数要乘以SQRT(2)/2。为什么，答案在PR条件上。MALLET算法PR条件有两个，一个是抗混叠，另一个是完全重构。而多孔算法由于非插值抽取，只有完全重构，且等式的右边常数是“1”，而不是MALLET-PR条件的“2”。所以MALLET的PR条件要乘以“1/2”才和TROUS一致，而这个因子“1/2”正好被分配到两个滤波器上，所以是SQRT(2)/2。

        再次，在每一层的下一层，滤波器中间要插值0。为什么？从谱上看，这是小波最经典的物理意义。数字信号一个周期的频谱范围为[-PI PI]，MALLAT算法的低通滤波[-PI/2 PI/2]，高通滤波[-PI -PI/2] U [PI/2 PI]，则滤波后低频分量频谱范围[-PI/2 PI/2]。这时注意“开始抽取，频谱展宽”，又回到源信号频谱[-PI PI]，然后再低通、高通滤波，周而复始。（小波包的问题顺便也说一下，实际上将高频抽取，频谱展宽后，发生了频谱颠倒现象，论坛里对此有精彩讨论，对此不再赘述。）而多孔呢？情况变了。低频分量始终是[-PI/2 PI/2]，若低通滤波器仍是[-PI/2 PI/2]，高通滤波器[-PI -PI/2] U [PI/2 PI]，岂不是有些可笑吗？于是“滤波器插值”极其精妙的登场。低通和高通滤波器频谱变窄，低通[-PI/4 PI/4]，高通[-PI/2 -PI/4] U [PI/4 PI/2]，这下物理概念对了。那多孔有没有小波包呢，留给大家探讨。”

        MATLAB小波工具箱中的swt/iswt在离散化实现时本质上采用了多孔算法，但有些差别，主要体现在滤波器的操作上，严格的多孔算法在mallat滤波器上乘以sqrt(2)/2，而swt/iswt没有这样处理。其他差别待后续用MATLAB实现严格多孔算法后，再对比给出。

 【——2013.5.27有更新

讨论：关于滤波器乘以sqrt(2)/2是否为多孔算法的必要条件，目前网上还存在争议。第一种观点认为“A trous 算法与SWT不一样，主要体现在滤波器的操作上，前者体现在滤波器乘以sqrt(2)/2，后者没有，不过两种算法都有滤波器插零的操作”。第二种观点认为“SWT在离散化实现时采用了a-trous算法”，即有无sqrt(2)/2并无本质区别，都是多孔算法。

刚开始以为观点一有道理，目前逐渐倾向于观点二。到底如何，待进一步熟悉理解，目前仅供讨论。

观点二来源：http://www.ilovematlab.cn/thread-102623-1-1.html】

        接下来分析一下MATLAB swt的实现算法。

                             MATLAB中swt实现算法示意图

        综上所述，swt与dwt的主要差别在于，1）增加了步骤4对滤波器隔点插0；2）抽取分解结果时，swt抽取的长度与原始信号长度一样，而dwt则抽取了原始信号长度的（1/2）^i，在此i为level分解级数或分解层数。（个人理解，欢迎讨论交流）