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此示例显示如何使用估计复合条件均值和方差模型estimate。

加载数据并指定模型。

加载工具箱附带的NASDAQ数据 。对于数值稳定性，将返回值转换为收益率。指定AR（1）和GARCH（1,1）复合模型。

 一个独立 相同分布的标准化高斯过程。

1.  
   load Data_EquityIdx
2.  
   nasdaq = DataTable.NASDAQ;
3.  
   r = 100*price2ret(nasdaq);
4.  
   T = length(r);
5.  
    
6.  
   Mdl = arima('ARLags',1,'Variance',garch(1,1))
7.  
   Mdl =
8.  
   arima with properties:
9.  
    
10.  
    Description: "ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
11.  
    Distribution: Name = "Gaussian"
12.  
    P: 1
13.  
    D: 0
14.  
    Q: 0
15.  
    Constant: NaN
16.  
    AR: {NaN} at lag [1]
17.  
    SAR: {}
18.  
    MA: {}
19.  
    SMA: {}
20.  
    Seasonality: 0
21.  
    Beta: [1×0]
22.  
    Variance: [GARCH(1,1) Model]

不使用预采样数据估计模型参数。

 使用estimate。使用estimate自动生成的预采样观察。

1.  
   EstMdl = estimate(Mdl,r);
2.  
    
3.  
   ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
4.  
    
5.  
   Value StandardError TStatistic PValue
6.  
   ________ _____________ __________ __________
7.  
    
8.  
   Constant 0.072632 0.018047 4.0245 5.7087e-05
9.  
   AR{1} 0.13816 0.019893 6.945 3.7845e-12
10.  
     
11.  
     
12.  
     
13.  
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
14.  
     
15.  
    Value StandardError TStatistic PValue
16.  
    ________ _____________ __________ __________
17.  
     
18.  
    Constant 0.022377 0.0033201 6.7399 1.5852e-11
19.  
    GARCH{1} 0.87312 0.0091019 95.927 0
20.  
    ARCH{1} 0.11865 0.008717 13.611 3.4339e-42

估计显示显示五个估计参数及其对应的标准误差（AR（1）条件均值模型具有两个参数，并且GARCH（1,1）条件方差模型具有三个参数）。

拟合模型（EstMdl）是

所有 统计量都大于2，表明所有参数都具有统计显着性。

推断条件差异和残差。

推断并绘制条件方差和标准化残差。 输出对数似然目标函数值。

1.  
   [res,v,logL] = infer(EstMdl,r);
2.  
    
3.  
   figure
4.  
   subplot(2,1,1)
5.  
   plot(v)
6.  
   xlim([0,T])
7.  
   title('Conditional Variance')
8.  
    
9.  
   subplot(2,1,2)
10.  
    plot(res./sqrt(v))
11.  
    xlim([0,T])
12.  
    title('Standardized Residuals')

在观察2000之后，条件方差增加。这对应于 看到的增加的波动性。

标准化残差在标准正态分布下具有比预期更大的值 。 

适应具有创新分布的模型。

修改模型，使其具有Student's t-innovation分布 ，指定方差模型常量项的初始值。

1.  
   MdlT = Mdl;
2.  
   MdlT.Distribution = 't';
3.  
   EstMdlT = estimate(MdlT,r,'Variance0',{'Constant0',0.001});
4.  
    
5.  
   ARIMA(1,0,0) Model (t Distribution):
6.  
    
7.  
   Value StandardError TStatistic PValue
8.  
   ________ _____________ __________ __________
9.  
    
10.  
    Constant 0.093488 0.016694 5.6002 2.1412e-08
11.  
    AR{1} 0.13911 0.018857 7.3771 1.6175e-13
12.  
    DoF 7.4775 0.88261 8.472 2.4125e-17
13.  
     
14.  
     
15.  
     
16.  
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (t Distribution):
17.  
     
18.  
    Value StandardError TStatistic PValue
19.  
    ________ _____________ __________ __________
20.  
     
21.  
    Constant 0.011246 0.0036305 3.0976 0.0019511
22.  
    GARCH{1} 0.90766 0.010516 86.316 0
23.  
    ARCH{1} 0.089897 0.010835 8.2966 1.0712e-16
24.  
    DoF 7.4775 0.88261 8.472 2.4125e-17

当t分布 时，系数估计值会略有变化。第二个模型拟合（EstMdlT）有一个额外的参数估计，即t分布自由度。估计的自由度相对较小（约为8），表明明显偏离正常。

比较模型拟合。

使用赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）比较两种模型拟合 。首先，获得第二拟合的对数似然目标函数值。

1.  
   [resT,vT,logLT] = infer(EstMdlT,r);
2.  
   [aic,bic] = aicbic([logL,logLT],[5,6],T)
3.  
   aic = 1×2
4.  
   103 ×
5.  
    
6.  
   9.4929 9.3807
7.  
    
8.  
   bic = 1×2
9.  
   103 ×
10.  
     
11.  
    9.5230 9.4168

第二个模型有六个参数，而第一个模型中有五个参数 。尽管如此，两个信息标准都支持具有学生t分布的模型。