幻方(附加生成五十阶以内幻方小程序)

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有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。通常幻方由从1到N² $的连续整数组成，其中N 为正方形的行或列的数目。因此N 阶幻方有N 行N 列，并且所填充的数为从1 到N 2 。$

幻方可以使用N $阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数 M 2 (N) ，如果填充数为 1,2,3.....,N 2 ，那么有$

构造法：

　　根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、 4M阶幻方和 4M+2阶幻方，其中 M为自然数， 2阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

Siamese方法（Kraitchik 1942年，pp. 148-149）是构造奇数阶幻方的一种方法，说明如下：

把1 $放置在第一行的中间。$
顺序将2,3,...... $数放在右上方格中。$
当右上方格出界的时候，则由另一边进入。
当右上方格中已经填有数，则把数填入正下方的方格中。
按照以上步骤直到填写完所有N² $个方格。$

（由于幻方的对称性，也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位）

以下图5 $阶幻方为例， 1 填写在 (1,3) （第一行第三列）的位置上； 2 应当填写在其右上方格即 (0,4) 中，由于 (0,4) 超出顶边界，所以从最底行进入，即 (5,4) ； 3 填写在 (5,4) 的右上方格 (4,5) 中； 4 填写在 (4,5) 的右上方格 (3,6) 中，$

$由于 (3,6) 超出右边界，所以从最左列进入，即 (3,1) ； 5 填写在 (3,1) 的右上方格 (2,2) 中；6 应该填写的方格 (1,3) 已经被 1 所占据，因此填写在 (2,2) 的正下方格 (3,2) 中；按照上面的步骤直到所有数填入。$


$阶$	$阶$	$阶$

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：

阶

对于4M $阶幻方一般都用对调法，制作起来很容易。如4阶幻方的排列法：按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：$

以6 $阶为例子，先排出 4 阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上 8m+2=10 ，有下图：$

结果如下：

在（4M+2)×(4M+2）个方格的适当格点上，先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点，全部标上“L”；在第M+1行的中间格点标上“U”，其余格点标上“L”；在第M+2行的中间格点标上“L”，其余格点标上“U”；在余下的M-1行的格点全部标上“X”。将格点上的数乘以4再减4，再按下面的规则加上1至4其中一个数，填入对应的格上：

 4 1    1 4    1 4
  L      U      X
 2 3    2 3    3 2

例子：

[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]
附上我写的一个生成50阶以内幻方的程序（其实二十阶以上就已经没什么意义了....)：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 typedef unsigned long long ull;
 5 #define INF 0x3f3f3f3f
 6 const ll MAXN = 1e2 + 7;
 7 const ll MOD = 1e9 + 7;
 8 const double pi = acos(-1);
 9 int Matrix[50][50];
10 int t[50][50];
11 int n;
12 void Move_pos(int &x, int &y, int a[][50], int m) //奇数阶构造移动类二维指针函数
13 {                                                 //这里的奇数阶幻方构造方法是向右上填数字
14     int tx = x, ty = y;
15     x--, y++;
16     if (x == 0)
17         x += m;
18     if (y == m + 1)
19         y -= m;
20     if (a[x][y])
21         x = tx + 1, y = ty;
22 }
23 void pri_Mat()
24 {
25     for (int i = 1; i <= n; i++)
26     {
27         for (int j = 1; j <= n; j++)
28             printf("%-4d ", Matrix[i][j]);
29         printf("\n");
30     }
31 }
32 void Siamese(int a[][50], int m)
33 {
34     int pos_x = 1, pos_y = m / 2 + 1; //1在幻方中的位置
35     int cnt = 1;                      //cnt为要填的数，初始为1
36     a[pos_x][pos_y] = cnt++;
37     while (cnt <= m * m) //m阶幻方要填m*m个数
38     {
39         Move_pos(pos_x, pos_y, a, m);
40         a[pos_x][pos_y] = cnt++;
41     }
42 }
43 int main()
44 {
45     memset(Matrix, 0, sizeof(Matrix));
46     memset(t, 0, sizeof(t));
47     printf("请输入要形成的幻方阶数：");
48     scanf("%d", &n);
49     if (n % 2) //奇数阶构造法(Siamese方法)
50         Siamese(Matrix, n);
51     else if (n % 4 == 0)
52     {
53         for (int i = 1; i <= n; i++)
54             for (int j = 1; j <= n; j++)
55                 Matrix[i][j] = (i - 1) * n + j;
56         for (int i = 1; i < n / 2; i++)
57             for (int j = i + 1; j <= n - i; j++)
58                 swap(Matrix[i][j], Matrix[n + 1 - i][n + 1 - j]);
59         for (int i = 2; i <= n - 1; i++)
60             for (int j = 1; j <= (i <= n / 2 ? i - 1 : n / 2 - i + 3); j++)
61                 swap(Matrix[i][j], Matrix[n + 1 - i][n + 1 - j]);
62     }
63     else
64     {
65         //lux构造4M+2幻方
66         int m = n / 2;
67         Siamese(t, m);
68         for (int i = 1; i <= m; i++)
69             for (int j = 1; j <= m; j++)
70             {
71                 Matrix[2 * i - 1][2 * j - 1] = 4 * t[i][j];
72                 Matrix[2 * i - 1][2 * j] = 4 * t[i][j] - 3;
73                 Matrix[2 * i][2 * j - 1] = 4 * t[i][j] - 2;
74                 Matrix[2 * i][2 * j] = 4 * t[i][j] - 1;
75                 if ((i>m/2+2)||(i == m / 2 + 2 && j != m / 2 + 1) || ((i == m / 2 + 1) && (j == m / 2 + 1)))
76                     swap(Matrix[2 * i - 1][2 * j - 1], Matrix[2 * i - 1][2 * j]);
77                 if (i == m)
78                     swap(Matrix[2 * i][2 * j - 1], Matrix[2 * i][2 * j]);
79             }
80     }
81     pri_Mat();
82     return 0;
83 }