1. 单相αβ-dq变换模块

(1) wt=0的情况

  Simulink中单相αβ-dq模块时有两种变换矩阵的，这两种变换矩阵的相同点是，vq超前vd90度，不同点是wt=0的位置不一样。我们在αβ-dq变换中规定$\theta$θ是wt=0滞后于vd的角度，也就是说以wt=0为基准，vd逆时针旋转$\theta$θ。第一种变换矩阵由下图决定：

  根据这个αβ-dq变换矩阵，可以确定$v_α$vα​超前$v_\beta$vβ​ 90度，否则vd和vq的直流量会为0，就只剩二倍于基频的交流量。可以假设$v_\alpha=Vmcos(wt-\phi) \\v_\beta=Vmsin(wt-\phi)$vα​=Vmcos(wt−ϕ)vβ​=Vmsin(wt−ϕ) ，带入计算可知$v_d=Vmcos\phi\ \ \ \ \ \ v_q=-Vmsin\phi$vd​=Vmcosϕ      vq​=−Vmsinϕ，显然可以推出$v_\alpha=v_dcoswt-v_qsinwt$vα​=vd​coswt−vq​sinwt，这个也就是整个系统的一般表达式，整体上思路就是仅仅和αβ-dq矩阵有关，一旦确定这个矩阵，也就确定了$v_α$vα​和$v_d$vd​和$v_q$vq​关系。

(2) wt=-$90^\circ$90∘的情况

  这种情况下，αβ-dq变换图和变换矩阵如下：

  这种情况下依然是$v_α$vα​超前$v_\beta$vβ​ 90度，原因就不再赘述，最后推出 $v_\alpha=v_dsinwt+v_qcoswt$vα​=vd​sinwt+vq​coswt

2. 三相abc-dq变换模块

(1) wt=0的情况

  将abc-dq分解成abc-αβ和αβ-dq的乘积，其中αβ-dq的变换已经在第一节中讨论了，而abc-αβ的变换矩阵时固定的，针对恒幅值状况，变换矩阵如下。
  这种情况下，abc-dq的变换矩阵如下图所示。
  如果考虑零序分量，即v0=(1/3)(va+vb+vc)，因此上式可以改编为：

(2) wt=-$90^\circ$90∘的情况

  由于abc-αβ的变换矩阵是一致的，因此仅考虑αβ-dq的不同，其变换矩阵如下：

  其实这两种变换是可以归算到同一个坐标系中的，假设已知wt=0的情况时vd的表达式，由于vd超前wt=0的夹角是$\theta$θ，而vq超前wt=0的夹角是$\theta+\frac{\pi}{2}$θ+2π​，带入vd表达式即可验证。重要的是wt=-$90^\circ$90∘的情况，将这种坐标系下vd归算到wt=0的坐标系下的结果，vd超前于wt=0的夹角应该是$\theta-\frac{\pi}{2}$θ−2π​，可以带入进行验算，而此时的vq超前于wt=0的夹角应当是$\theta$θ，这个思想是非常重要的，所有的情况全部折算到wt=0的坐标情况下，即可。

参考资料

4种派克(Park)变换、克拉克（Clark）变换与基于dq轴解耦的双闭环控制之间的关系(一)

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