4.6  统计作图

4.6.1  正整数的频率表

命令  正整数的频率表

函数  tabulate

格式  table = tabulate(X)   %X为正整数构成的向量，返回3列：第1列中包含X的值第2列为这些值的个数，第3列为这些值的频率。

例4-49  

>> A=[1 2 2 5 6 3 8]

A =

     1     2     2     5     6     3     8

>> tabulate(A)

  Value    Count    Percent

      1        1     14.29%

      2        2     28.57%

      3        1     14.29%

      4        0      0.00%

      5        1     14.29%

      6        1     14.29%

      7        0      0.00%

      8        1     14.29%

4.6.2  经验累积分布函数图形

函数  cdfplot

格式  cdfplot(X)           %作样本X（向量）的累积分布函数图形

h = cdfplot(X)        %h表示曲线的环柄

[h,stats] = cdfplot(X)   %stats表示样本的一些特征

例4-50  

>> X=normrnd (0,1,50,1); 

>> [h,stats]=cdfplot(X)

h =

    3.0013

stats = 

       min: -1.8740      %样本最小值

       max: 1.6924      %最大值

      mean: 0.0565      %平均值

    median: 0.1032       %中间值

       std: 0.7559        %样本标准差

 

 

图 4-10

 

4.6.3  最小二乘拟合直线

函数  lsline

格式  lsline       %最小二乘拟合直线

      h = lsline    %h为直线的句柄

例4-51  

>> X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]\';

>> plot(X,\'+\')

>> lsline

 

4.6.4  绘制正态分布概率图形

函数  normplot

格式  normplot(X)    %若X为向量，则显示正态分布概率图形，若X为矩阵，则显示每一列的正态分布概率图形。

h = normplot(X)  %返回绘图直线的句柄

说明  样本数据在图中用“+”显示；如果数据来自正态分布，则图形显示为直线，而其它分布可能在图中产生弯曲。

例4-53

>> X=normrnd(0,1,50,1);

>> normplot(X)

 

图4-12

4.6.5  绘制威布尔(Weibull)概率图形

函数  weibplot

格式  weibplot(X)   %若X为向量，则显示威布尔(Weibull)概率图形，若X为矩阵，则显示每一列的威布尔概率图形。

h = weibplot(X)   %返回绘图直线的柄

说明  绘制威布尔(Weibull)概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔分布的数据X，如果X是威布尔分布数据，其图形是直线的，否则图形中可能产生弯曲。

例4-54  

>> r = weibrnd(1.2,1.5,50,1);

>> weibplot(r)

 

图4-13

4.6.6  样本数据的盒图

函数  boxplot

格式  boxplot(X)   %产生矩阵X的每一列的盒图和“须”图，“须”是从盒的尾部延伸出来，并表示盒外数据长度的线，如果“须”的外面没有数据，则在“须”的底部有一个点。

boxplot(X,notch)   %当notch=1时，产生一凹盒图，notch=0时产生一矩箱图。

boxplot(X,notch,\'sym\')   %sym表示图形符号，默认值为“+”。

boxplot(X,notch,\'sym\',vert)   %当vert=0时，生成水平盒图，vert=1时，生成竖直盒图（默认值vert=1）。

boxplot(X,notch,\'sym\',vert,whis)   %whis定义“须”图的长度，默认值为1.5，若whis=0则boxplot函数通过绘制sym符号图来显示盒外的所有数据值。

例4-55

>>x1 = normrnd(5,1,100,1);

>>x2 = normrnd(6,1,100,1);

>>x = [x1 x2];

>> boxplot(x,1,\'g+\',1,0)

 

图4-14

4.6.7  给当前图形加一条参考线

函数  refline

格式  refline(slope,intercept)   % slope表示直线斜率，intercept表示截距

refline(slope)           slope=[a b]，图中加一条直线：y=b+ax。

例4-56

>>y = [3.2 2.6 3.1 3.4 2.4 2.9 3.0 3.3 3.2 2.1 2.6]\';

>>plot(y,\'+\')

>>refline(0,3)

 

图4-15

4.6.8  在当前图形中加入一条多项式曲线

函数  refcurve

格式  h = refcurve(p)   %在图中加入一条多项式曲线，h为曲线的环柄，p为多项式系数向量，p=[p1,p2, p3,…,pn]，其中p1为最高幂项系数。

例4-57  火箭的高度与时间图形，加入一条理论高度曲线，火箭初速为100m/秒。

>>h = [85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356];

>>plot(h,\'+\')

>>refcurve([-4.9 100 0])

图4-16

4.6.9  样本的概率图形

函数  capaplot

格式  p = capaplot(data,specs)   %data为所给样本数据，specs指定范围，p表示在指定范围内的概率。

说明  该函数返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率

例4-58

>> data=normrnd (0,1,30,1);

>> p=capaplot(data,[-2,2])

p =

    0.9199

 

图4-17

4.6.10  附加有正态密度曲线的直方图

函数  histfit

格式  histfit(data)       %data为向量，返回直方图

和正态曲线。

histfit(data,nbins)  % nbins指定bar的个数，

缺省时为data中数据个数的平方根。

例4-59

>>r = normrnd (10,1,100,1);

>>histfit(r)

4.6.11  在指定的界线之间画正态密度曲线

函数  normspec

格式  p = normspec(specs,mu,sigma)   %specs指定界线，mu,sigma为正态分布的参数p 为样本落在上、下界之间的概率。

例4-60

>>normspec([10 Inf],11.5,1.25)

 

图4-19

4.7  参数估计

4.7.1  常见分布的参数估计

命令  β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间

函数  betafit

格式  PHAT=betafit(X)

[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)

说明  PHAT为样本X的β分布的参数a和b的估计量

PCI为样本X的β分布参数a和b的置信区间，是一个2×2矩阵，其第1例为参数a的置信下界和上界，第2例为b的置信下界和上界，ALPHA为显著水平，（1-α）×100%为置信度。

例4-61  随机产生100个β分布数据，相应的分布参数真值为4和3。则4和3的最大似然估计值和置信度为99%的置信区间为：

解：

>>X = betarnd (4,3,100,1);     %产生100个β分布的随机数

>>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01)   %求置信度为99%的置信区间和参数a、b的估计值

结果显示

PHAT =

      3.9010    2.6193

PCI =

      2.5244    1.7488

      5.2776    3.4898

说明  估计值3.9010的置信区间是[2.5244  5.2776]，估计值2.6193的置信区间是[1.7488  3.4898]。

命令  正态分布的参数估计

函数  normfit

格式  [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)   

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)

说明  muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值，muci,sigmaci分别为置信区间，其置信度为；alpha给出显著水平α，缺省时默认为0.05，即置信度为95%。

例4-62  有两组(每组100个元素)正态随机数据，其均值为10，均方差为2，求95%的置信区间和参数估计值。

解：>>r = normrnd (10,2,100,2);     %产生两列正态随机数据

>>[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r)

则结果为

mu =

   10.1455   10.0527       %各列的均值的估计值

sigma =

    1.9072    2.1256       %各列的均方差的估计值

muci =

    9.7652    9.6288       

   10.5258   10.4766

sigmaci =

    1.6745    1.8663

    2.2155    2.4693

说明  muci，sigmaci中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间，置信度为95%。

例4-63  分别使用金球和铂球测定引力常数

（1）用金球测定观察值为：6.683  6.681  6.676  6.678  6.679  6.672

（2）用铂球测定观察值为：6.661  6.661  6.667  6.667  6.664

设测定值总体为，μ和σ为未知。对(1)、(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为0.9的置信区间。

解：建立M文件：LX0833.m

X=[6.683  6.681  6.676  6.678  6.679  6.672];

Y=[6.661  6.661  6.667  6.667  6.664];

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1)      %金球测定的估计

[MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1)    %铂球测定的估计

运行后结果显示如下：

mu =

     6.6782

sigma =

       0.0039

muci =

         6.6750

         6.6813

sigmaci =

        0.0026

        0.0081

MU =

        6.6640

SIGMA =

        0.0030

MUCI =

       6.6611

       6.6669

SIGMACI =

          0.0019

          0.0071

由上可知，金球测定的μ估计值为6.6782，置信区间为[6.6750，6.6813]；

σ的估计值为0.0039，置信区间为[0.0026，0.0081]。

泊球测定的μ估计值为6.6640，置信区间为[6.6611，6.6669]；

σ的估计值为0.0030，置信区间为[0.0019，0.0071]。

命令  利用mle函数进行参数估计

函数  mle

格式  phat=mle                %返回用dist指定分布的最大似然估计值

[phat, pci]=mle           %置信度为95%

[phat, pci]=mle     %置信度由alpha确定

[phat, pci]=mle   %仅用于二项分布，pl为试验次数。

说明  dist为分布函数名，如：beta(分布)、bino（二项分布）等，X为数据样本，alpha为显著水平α，为置信度。

例4-64

>> X=binornd(20,0.75)       %产生二项分布的随机数

X =

    16

>> [p,pci]=mle(\'bino\',X,0.05,20)    %求概率的估计值和置信区间，置信度为95%

p =

    0.8000

pci =

    0.5634

    0.9427

常用分布的参数估计函数

表4-7  参数估计函数表

函数名	调  用  形  式	函  数  说  明
binofit	PHAT= binofit(X, N) [PHAT, PCI] = binofit(X,N) [PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)	二项分布的概率的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间
poissfit	Lambdahat=poissfit(X) [Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X) [Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA)	泊松分布的参数的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的λ参数和置信区间
normfit	[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA)	正态分布的最大似然估计，置信度为95% 返回水平α的期望、方差值和置信区间
betafit	PHAT =betafit (X) [PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA)	返回β分布参数a和 b的最大似然估计 返回最大似然估计值和水平α的置信区间
unifit	[ahat,bhat] = unifit(X) [ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X) [ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)	均匀分布参数的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间
expfit	muhat =expfit(X) [muhat,muci] = expfit(X) [muhat,muci] = expfit(X,alpha)	指数分布参数的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间
gamfit	phat =gamfit(X) [phat,pci] = gamfit(X) [phat,pci] = gamfit(X,alpha)	γ分布参数的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回最大似然估计值和水平α的置信区间
weibfit	phat = weibfit(X) [phat,pci] = weibfit(X) [phat,pci] = weibfit(X,alpha)	韦伯分布参数的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计及其区间估计
Mle	phat = mle(\'dist\',data) [phat,pci] = mle(\'dist\',data) [phat,pci] = mle(\'dist\',data,alpha) [phat,pci] = mle(\'dist\',data,alpha,p1)	分布函数名为dist的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的最大似然估计值和置信区间 仅用于二项分布，pl为试验总次数

说明  各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%的置信区间。α的默认值为0.05，即置信度为95%。

4.7.2  非线性模型置信区间预测

命令  高斯—牛顿法的非线性最小二乘数据拟合

函数  nlinfit

格式  beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0)   %返回在FUN中描述的非线性函数的系数。FUN为用户提供形如的函数，该函数返回已给初始参数估计值β和自变量X的y的预测值。

[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0)   %beta为拟合系数，r为残差，J为Jacobi矩阵，beta0为初始预测值。

说明  若X为矩阵，则X的每一列为自变量的取值，y是一个相应的列向量。如果FUN中使用了@，则表示函数的柄。

例4-65  调用MATLAB提供的数据文件reaction.mat

>>load reaction

>>betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta)

betafit =

    1.2526

    0.0628

    0.0400

    0.1124

    1.1914

命令  非线性模型的参数估计的置信区间

函数  nlparci

格式  ci = nlparci(beta,r,J)   %返回置信度为95%的置信区间，beta为非线性最小二乘法估计的参数值，r为残差，J为Jacobian矩阵。nlparci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。

例4-66  调用MATLAB中的数据reaction。

>>load reaction

>>[beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,\'hougen\',beta)

beta =

    1.2526

    0.0628

    0.0400

    0.1124

    1.1914

resids =

    0.1321

   -0.1642

   -0.0909

    0.0310

    0.1142

    0.0498

   -0.0262

    0.3115

   -0.0292

    0.1096

    0.0716

   -0.1501

   -0.3026

J =

    6.8739  -90.6536  -57.8640   -1.9288    0.1614

    3.4454  -48.5357  -13.6240   -1.7030    0.3034

    5.3563  -41.2099  -26.3042  -10.5217    1.5095

    1.6950    0.1091    0.0186    0.0279    1.7913

    2.2967  -35.5658   -6.0537   -0.7567    0.2023

   11.8670  -89.5655 -170.1745   -8.9566    0.4400

    4.4973  -14.4262  -11.5409   -9.3770    2.5744

    4.1831  -41.7896  -16.8937   -5.7794    1.0082

   11.8286  -51.3721 -154.1164  -27.7410    1.5001

    9.1514  -25.5948  -76.7844  -30.7138    2.5790

    3.3373    0.0900    0.0720    0.1080    3.5269

    9.3663 -102.0611 -107.4327   -3.5811    0.2200

    4.7512  -24.4631  -16.3087  -10.3002    2.1141

>>ci = nlparci(beta,resids,J)

ci =

   -0.7467    3.2519

   -0.0377    0.1632

   -0.0312    0.1113

   -0.0609    0.2857

   -0.7381    3.1208

命令  非线性拟合和显示交互图形

函数  nlintool

格式  nlintool(x,y,FUN,beta0)   %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形，它用2条红色曲线预测全局置信区间。beta0为参数的初始预测值，置信度为95%。

nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha)   %置信度为(1-alpha)×100%

例4-67  调用MATLAB数据

>> load reaction

>> nlintool(reactants,rate,\'hougen\',beta)

图4-20

命令  非线性模型置信区间预测

函数  nlpredci

格式  ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J)   % ypred 为预测值，FUN与前面相同，beta为给出的适当参数，r为残差，J为Jacobian矩阵，inputs为非线性函数中的独立变量的矩阵值。

[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J)    %delta为非线性最小二乘法估计的置信区间长度的一半，当r长度超过beta的长度并且J的列满秩时，置信区间的计算是有效的。[ypred-delta,ypred+delta]为置信度为95%的不同步置信区间。

ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,\'simopt\',\'predopt\')   %控制置信区间的类型，置信度为100(1-alpha)%。\'simopt\' = \'on\' 或\'off\' (默认值)分别表示同步或不同步置信区间。\'predopt\'=\'curve\' (默认值) 表示输入函数值的置信区间， \'predopt\'=\'observation\' 表示新响应值的置信区间。nlpredci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。

例4-68  续前例，在[100  300  80]处的预测函数值ypred和置信区间一半宽度delta

>> load reaction

>> [beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);

>> [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)

结果为：

ypred =

   10.9113

delta =

    0.3195

命令  非负最小二乘

函数  nnls（该函数已被函数lsnonneg代替，在6.0版中使用nnls将产生警告信息）

格式  x = nnls(A,b)   %最小二乘法判断方程A×x=b的解，返回在x≥0的条件下使得最小的向量x，其中A和b必须为实矩阵或向量。

x = nnls(A,b,tol)    % tol为指定的误差

[x,w] = nnls(A,b)   %当x中元素时，，当时。

[x,w] = nnls(A,b,tol)

例4- 69  

>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；

>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]\'；

>> x=nnls(A,b)

Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG.

NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax:

[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]

=lsqnonneg(A,b,X0, Options) ;

Use OPTIMSET to define optimization options, or type

\'edit nnls\' to view the code used here.  NNLS will be

removed in the future; please use NNLS with the new syntax.

x =

         0

    0.6929

命令  有非负限制的最小二乘

函数  lsqnonneg

格式  x = lsqnonneg(C,d)   %返回在x≥0的条件下使得最小的向量x，其中C和d必须为实矩阵或向量。

x = lsqnonneg(C,d,x0)  % x0为初始点，x0≥0

x = lsqnonneg(C,d,x0,options)   %options为指定的优化参数，参见options函数。

[x,resnorm] = lsqnonneg(…)   %resnorm表示norm(C*x-d).^2的残差

[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…)   %residual表示C*x-d的残差

例4- 70 

>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；

>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]\'；

>> [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b)

x =

         0

    0.6929

resnorm =

    0.8315

residual =

    0.6599

   -0.3119

   -0.3580

    0.4130

4.7.3  对数似然函数

命令  负分布的对数似然函数

函数  Betalike

格式  logL=betalike(params,data)   %返回负分布的对数似然函数，params为向量[a, b]，是分布的参数，data为样本数据。

[logL,info]=betalike(params,data)   %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params 中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明  betalike是分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中，所有的元素相互独立。因为betalike返回负对数似然函数，用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的。

例4-71  本例所取的数据是随机产生的分布数据。

>>r = betarnd(3,3,100,1);

>>[logL,info] = betalike([2.1234,3.4567],r)

logL =

     -12.4340

info =

      0.1185    0.1364

      0.1364    0.2061

命令  负分布的对数似然估计

函数  Gamlike

格式  logL=gamlike(params,data)  %返回由给定样本数据data确定的分布的参数为params（即[a，b]）的负对数似然函数值

      [logL,info]=gamlike(params,data)   %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明  gamlike是分布的最大似然估计函数。因为gamlike返回对数似然函数值，故用fmins函数将gamlike最小化后，其结果与最大似然估计是相同的。

例4-72

>>r=gamrnd(2,3,100,1);

>>[logL,info]=gamlike([2.4212, 2.5320],r)

logL =

     275.4602

info =

   0.0453   -0.0538

    -0.0538    0.0867

命令  负正态分布的对数似然函数

函数  normlike

格式  logL=normlike(params,data)   %返回由给定样本数据data确定的、负正态分布的、参数为params(即[mu，sigma])的对数似然函数值。

      [logL,info]=normlike(params,data)   %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

命令  威布尔分布的对数似然函数

函数  Weiblike

格式  logL = weiblike(params,data)   %返回由给定样本数据data确定的、威布尔分布的、参数为params(即[a，b])的对数似然函数值。

      [logL,info]=weiblike(params,data)  %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明  威布尔分布的负对数似然函数定义为

 

例4-73

>>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1);

>>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r)

logL =

     237.6682

info =

      0.0004   -0.0002

     -0.0002    0.0078