[转] http://blog.sina.com.cn/s/blog_46e9b2010100tsqv.html

用matlab时间也不短了，可是一直没有接触过微分方程。这次看看书，学习学习，记点儿笔记。

将yc的内容copy到latex中编译，得到结果。

关于Matlab的微分方程，直到今天才更新第2篇，实在是很惭愧的事——因为原因都在于太懒惰，而不是其他的什么。

在上一篇中，我们使用dsolve可以解决一部分能够解析求解的微分方程、微分方程组，但是对于大多数微分方程（组）而言不能得到解析解，这时数值求解也就是没有办法的办法了，好在数值解也有很多的用处。

数值分析方法中讲解了一些Eular法、 Runge-Kutta 法等一些方法，在matlab中内置的ode求解器可以实现不同求解方法的相同格式的调用，而不必太关心matlab究竟是用什么算法完成的。

这一回我们来说明ode45求解器的使用方法。

1.ode45求解的上手例子：

求解方程组

Dx=y+x(1-x^2-y^2);

Dy=-x+y*(1-x^2-y^2)

初值x=0.1;y=0.2;

先说明一下最常用的ode45调用方式，和相应的函数文件定义格式。

[t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);

其中，Fun就是导函数，tspan为求解的时间区间（或时间序列，如果采用时间序列，则必须单调），x0为初值。

这时，函数文件可以采用如下方式定义

function dx=odefun(t,x)

对于上面的小例子，可以用如下的程序求解。

 2.终值问题

tspan可以是递增序列，也可以为递减序列，若为递减则可求解终值问题。

[t,x]=ode45(@zhongzhiode,[3,0],[1;0;2]);plot(t,x)

function dx=zhongzhiode(t,x)
dx=[2*x(2)^2-2;
-x(1)+2*x(2)*x(3)-1;
-2*x(2)+2*x(3)^2-4];

结果如下

3.odeset

options = odeset(\'name1\',value1,\'name2\',value2,...)

[t,x]=solver(@fun,tspan,x0,options)

通过odeset设置options

第一，通过求解选项的设置可以改善求解精度，使得原本可能不收敛的问题收敛。

options=odeset(\'RelTol\',1e-10);

第二，求解形如M(t,x)x\'=f(t,x)的方程。

例如，方程

x\'=-0.2x+yz+0.3xy

y\'=2xy-5yz-2y^2

x+y+z-2=0

可以变形为

[1  0  0][x\']    [-0.2x+yz+0.3xy]

[0  1  0][y\'] = [2xy-5yz-2y^2   ]

[0  0  0][z\']    [x+y+z-2           ]

这样就可以用如下的代码求解该方程

function mydae
M=[1 0 0;0 1 0;0 0 0];
options=odeset(\'Mass\',M);
x0=[1.6,0.3,0.1];
[t,x]=ode15s(@daedot,[0,1.5],x0,options);plot(t,x)

function dx=daedot(t,x)
dx=[
    -0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);
    2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2);
    x(1)+x(2)+x(3)-2];

4.带附加参数的ode45

有时我们需要研究微分方程组中的参数对于解的影响，这时采用带有参数的ode45求解会使求解、配合循环使用，可以使得求解的过程更加简捷。

使用方法：只需将附加参数放在options的后面就可以传递给odefun了。

看下面的例子。

function Rossler

clear;clc
a=[0.2,0.2];
b=[0.2,0.5];
c=[5.7,10];

x0=[0 0 0];
for jj=1:2
    [t,x]=ode45(@myRossler,[0,100],x0,[],a(jj),b(jj),c(jj));
    figure;plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));grid on;
end

function dx=myRossler(t,x,a,b,c)

dx=[
    -x(2)-x(3);
    x(1)+a*x(2);
    b+(x(1)-c)*x(3)];

5. 刚性方程的求解

刚性方程就是指各个自变量的变化率差异很大，会造成通常的求解方法失效。

这是matlab中自带的一个例子，使用ode15s求解，如果用ode45求解就会出现错误。

function myode15study

[t,Y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2 0]);
plot(T,Y(:,1),\'-o\')

figure;plot(Y(:,1),Y(:,2))

function dy = vdp1000(t,y)
dy = zeros(2,1);   

dy(1) = y(2);
dy(2) = 1000*(1 - y(1)^2)*y(2) - y(1);

6.高阶微分方程的求解

通常的方法是进行变量替换，将原方程降阶，转换成更多变量的一阶方程组进行求解。

在这个例子里我们求解一个动力学系统里最常见的一个运动方程

,其中f=sin(t)

function myhighoder
clear;clc
x0=zeros(6,1);
[t,x]=ode45(@myhigh,[0,100],x0);
plot(t,x(:,1))

function dx=myhigh(t,x)
f=[sin(t);0;0];;
M=eye(3);
C=eye(3)*0.1;
K=eye(3)-0.5*diag(ones(2,1),1)-0.5*diag(ones(2,1),-1);
dx=[x(4:6);inv(M)*(f-C*x(4:6)-K*x(1:3))];

7.延迟微分方程

matlab提供了dde23求解非中性微分方程。dde23的调用格式如下：

sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan)

lags是延迟量，比如方程中包含y1(t-0.2)和y2(t-0.3)则可以使用lags=[0.2,0.3]。

这里的ddefun必须采用如下的定义方式：

dydt = ddefun(t,y,Z)

其中的Z(:,1)就是y(t-lags(1)),Z(:,2)就是y(t-lags(2)）...

下面是个使用dde23求解延迟微分方程的例子。

function mydde23study
%   The differential equations
%
%        y\'_1(t) = y_1(t-1) 
%        y\'_2(t) = y_1(t-1)+y_2(t-0.2)
%        y\'_3(t) = y_2(t)
%
%   are solved on [0, 5] with history y_1(t) = 1, y_2(t) = 1, y_3(t) = 1 for
%   t <= 0.
clear;clc
lags=[1,0.2];
history=[1;1;1];
tspan=[0,5];
sol = dde23(@myddefun,lags,history,tspan)
plot(sol.x,sol.y)

function dy = myddefun(t,y,Z)
dy=[
    Z(1,1);
    Z(1)+Z(2,2);
    y(2)    ];

8.ode15i求解隐式微分方程

[T,Y] = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0)

yp0为y\'的初值。

odefun的格式如下  dy = odefun(t,y,yp),yp表示y\'，而方程中应该使得f(t,y,y\')=0

function myodeIMP
%   The problem is
%
%         y(1)\' = -0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3)
%         y(2)\' =  0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3) - 3e7*y(2)^2
%         y(3)\' =  3e7*y(2)^2
%
%   It is to be solved with initial conditions y(1) = 1, y(2) = 0, y(3) = 0
%   to steady state. 
clear;clc
y0=[1;0;0];
fixed_y0=[1;1;1];
yp0=[0 0 0];
fixed_yp0=[];

[y0mod,yp0mod]=decic(@myodefunimp,0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0);
tspan=[0, logspace(-6,6)];
[t,y] = ode15i(@myodefunimp,tspan,y0mod,yp0mod);
y(:,2)=1e4*y(:,2);
semilogx(t,y)
function res=myodefunimp(t,y,yp)
res=[
    -yp(1)-0.04*y(1)+1e4*y(2)*y(3);
    -yp(2)+0.04*y(1)-1e4*y(2)*y(3)-3e7*y(2)^2;
    -yp(3)+3e7*y(2)^2;
    ];