本文主要介绍matlab中求解常微分方程（组）的dsolve和ode系列函数，并通过例子加深读者的理解。

一、符号介绍

   D: 微分符号；D2表示二阶微分，D3表示三阶微分，以此类推。

二、函数功能介绍及例程

1、dsolve 函数

dsolve函数用于求常微分方程组的精确解，也称为常微分方程的符号解。如果没有初始条件或边界条件，则求出通解；如果有，则求出特解。

1)函数格式  

Y = dsolve(‘eq1,eq2,…’ , ’cond1,cond2,…’ , ’Name’)

其中，‘eq1,eq2,…’:表示微分方程或微分方程组;

            ’cond1,cond2,…’:表示初始条件或边界条件;

            ‘Name’:表示变量。没有指定变量时，matlab默认的变量为t；

2)例程

例1.1(dsolve 求解微分方程)

求解微分方程：

dsolve(\'Dy=3*x^2\',\'x\') 

例1.2（加上初始条件）

求解微分方程：

例2(dsolve 求解微分方程组)

求解微分方程组： 

由于x,y均为t的导数，所以不需要在末尾添加’t’。

2、ode函数

在上文中我们介绍了dsolve函数。但有大量的常微分方程，虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解。

ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。不同类型有着不同的求解器，具体说明如下图。 

其中，ode45求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta算法；其他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。

ode45是解决数值解问题的首选方法，若长时间没结果，应该就是刚性的，可换用ode15s试试。

下面将以ode45为例具体介绍函数的使用方法。

1)函数格式  

[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0)

[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)

[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)

sol = ode45(‘odefun’,[t0 tf],y0...)

其中: odefun是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名；

          tspan 是求解区间 [t0 tf]，或者一系列散点[t0,t1,...,tf]；

          y0 是初始值向量

          T 返回列向量的时间点

          Y 返回对应T的求解列向量

          options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等

           TE 事件发生时间

           YE 事件发生时之答案

            IE 事件函数消失时之指针i

2)微分方程标准化

利用ode45求解高阶微分方程时，需要做变量替换。下面说明替换的基本思路。

微分方程为

初始条件

首先做变量替换 

原微分方程可以转换为下面的微分方程组的格式:

下面就可以利用转换好的微分方程组来编写odefun函数。

3）例程

在matlab中新建脚本文件，编写函数如下：