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1. 特殊矩阵 通用的特殊矩阵 >zeros函数：产生全0的矩阵，即零矩阵 >ones函数：产生全1的矩阵，即1矩阵 >eye函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵为方阵时则得到一个单位阵 >rand函数：产生0~1区间均匀分布的随机矩阵 >randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。 zeros函数的调用格式： >zeros(m): 产生mxm的零矩阵 >zeros(m,n):产生mxn零矩阵 >zeros(size(A)):产生与矩阵A同样大小的零矩阵 >> A=zeros(2,3) 例1 首先产生5阶两位随机矩阵A，在产生均值为0.6，方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证（A+B）I=IA+BI(I为单位矩阵) >rand函数：产生0~1开区间均匀分布的随机数x >fix(a+(b-a+1)*x):产生a~b区间上均匀分布的随机整数 >randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机数x >u+cx：得到均值为u，方差为c^2的随机数 >> A=fix(10+(99-10+1)*rand(5)); 用于专门学科的特殊矩阵 （1）魔方矩阵 >> M=magic(3) 4 9 2 >n阶魔方阵有1，2，3，……，n^2个整数组成，且每行每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。 >n阶魔方方阵每行每列元素的的和为（1+2+3+...+n^2）/n = (n+n^3)/2 >MATLAB函数magic(n)产生一个特定的魔方阵 例2 产生8阶魔方矩阵，求其每行每列元素的和。 >> M=magic(8); （2）范德蒙行列式 在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础的范德蒙矩阵 >> A=vander(1:5) 范德蒙矩阵常用在各种通信系统的纠错编码中，如Reed-Solomon编码以范德蒙矩阵为基础 （3）希尔伯特矩阵 希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵：矩阵中任何一个元素微小的变动，都会引起矩阵值以及逆矩阵的值的较大的扰动，病态程度与矩阵的阶数有关，阶数越高，病态程度越严重。 在MATLAB中，生成n阶希尔伯特的函数为：hilb(n): >> format rat //以有理数格式显示 （4）伴随矩阵（特征值为多项式方程的根） （4）伴随矩阵 MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan（p），其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂系数排在后。 例如， 生成多项式(x^3 - 2x^2 - 5x + 6)的伴随矩阵 >> p=[1,-2,-6,6]; （5）帕斯卡矩阵 例3 生成5阶帕斯卡矩阵，验证他的逆矩阵的所有元素也为矩阵 >> format rat 2. 矩阵变换 >对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵 >数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵 >单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵 （1）提取矩阵的对角线元素 >diag(A):提取矩阵A的主对角线元素，生成一个列向量 >diag(A,k):提取矩阵A的第k条对角线元素，生成一个列向量 主对角线：k=0，向上，向下分别为k=1，2，…… /k=-1，-2，……对角线 （2）构造对角阵 >diag(V):以向量V为主对角元素，产生对角矩阵 >diag(V,k)：以向量V为第k条对角元素，产生对角矩阵 例1 先建立5x5矩阵A，然后将A的第1行元素乘以1，第2行元素乘以2，……，第5行元素乘以5 >> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9] 要将A的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，如何实现？ >> A*D 三角阵 >上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为0的矩阵 >下三角阵：矩阵的对角线以上的元素全为0的矩阵 （1）上三角阵 >triu（A）：提取矩阵A的主对角线及以上的元素 >triu（A，k）：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素 >> triu(ones(4),-1) 0 0 1 1 （2）下三角阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。 >tril（A）：提取矩阵A的主对角线及以下的元素 >tril（A，k）：提取矩阵A的第k条对角线及以下的元素 >> tril(ones(4),-1) 矩阵的转转置 >转置运算符是小数点后面接单引号（.'） >共扼转置，其运算符是单引号（‘），它在转置的基础上还要提取每个数的复共轭 >> A=[1,3;3+4i,1-2i] 矩阵的旋转 rot90（A，k）：将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可以省略 >> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2] >fliplr(A):对矩阵A实施左右翻转 >flipud(A):对矩阵A实施上下翻转 A = 例2 验证魔方方阵的主对角线，副对角线元素之和相等 >> A=magic(5) A = >> B=flipud(A) B = 矩阵的求逆 >对于一个方阵A，如果存在一个与其相同阶的方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，当然A也是B的逆矩阵 >inv（A）：求方阵A的逆矩阵
3. 矩阵求值 方阵的行列式 >把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值 >det(A):求方阵A所对应的行列式的值 矩阵的秩 >矩阵线性无关的行数和列数成为矩阵的秩 >rank(A): 求矩阵A的秩 例2 求3~20阶魔方阵的秩 >> for n=3:20 矩阵的迹 >矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和 >trace(A):求矩阵A的迹 >> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2] 向量和矩阵的范数 矩阵或向量的范数用于定义矩阵或向量在某种意义下的长度 矩阵的条件数 >矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积 >条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差 在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是： >cond(A,1):计算A的1-范数下的条件数 >cond(A,2)或cond(A):计算A的2-范数下的条件数 >cond(A,inf):计算A的正无穷-范数下的条件数 例3 求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数 >> for n=2:10 4. 矩阵的特征值与特征向量 矩阵特征值的数学定义 设A是n阶方阵，如果存在常数λ和n维非零列向量x，是的等式Ax=λx成立，则称λ为A的特征值，x是对应特征值λ的特征向量 函数调用格式有两种： >E=eig(A):求矩阵A的全部特征值，构成向量E >[X,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量 >> A=[1,1,0;1,0,5;1,10,2] 7.003970291830358 >> D(1)*X(:,1) 7.003970291830355 >> R=[-1,2,0;2,-4,1;1,1,-6]; 5. 稀疏矩阵 矩阵的存储方式：完全存储方式+稀疏存储方式 稀疏存储方式只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号 注意：采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储 >> A=sparse(eye(5)) >> A=sparse([1,2,2],[2,1,4],[2,5,-7]) >> A=[2,2,1;2,1,-1;2,4,3] (2,4) 3 >> A=[11,0,0,12,0,0;0,21,0,0,22,0;0,0,31,0,0,32;41,0,0,42,0,0;0,51,0,0,52,0] (3,6) 32 >> kf1=[1;1;2;1;0]; 8.611111111111111 注意：当参与运算的数据对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果是完全存储形式。 |
2023-10-27
2022-08-15
2022-08-17
2022-09-23
2022-08-13
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