矩阵分析

• 行列式
  • MATLAB中求解矩阵行列式的函数是det。
• 逆
  • MATLAB中可以通过函数inv求解矩阵的逆。
    • 矩阵的逆在求解线性方程组时是重要的，对于一般的给定线性方程组A*X=b，其解就可以通过X=inv(A)*b求得。
    • 需要注意的是，对于严重病态的矩阵或奇异矩阵，inv求解时会出现警告提示，因为这时候其逆矩阵本来就不存在，或者非常容易受扰动而使得求解不精确。
    • 对于一般的长方形矩阵A，A*X=I和X*A=I中至少有一个没有解，因此长方形矩阵A没有逆矩阵。但MATLAB中可以用pinv函数求解长方形矩阵A的伪逆矩阵B=pinv(A)，B一定满足B*A=I或A*B=I中的一个等式。
• 秩
  • MATLAB中求解矩阵秩的函数是rank。
• 矩阵的范数和条件数
  • 矩阵条件数是用来刻画矩阵病态程度的关键表征量。矩阵的条件数越大，代表矩阵病态程度越严重。线性方程组A*X=b中，如果系数矩阵A严重病态，其精确求解将是很困难的。
    • （1）1-范数norm(A,1)实际上返回矩阵A列向元素和的最大值max(sum(abs(A)))。
    • （2）2-范数norm(A,2)返回矩阵A的最大奇异值max(svd(A))。
    • （3）无穷范数norm(A,inf)返回矩阵A行向元素和的最大值max(sum(abs(A’)))
    • norm(A)相当于norm(A,2)，求解矩阵A的2-范数。
  • MATLAB中求解矩阵条件数的函数是cond。
    • 一个矩阵和它的逆矩阵一定具有相同的条件数。另外，对于秩为0或非常接近0的奇异矩阵，其条件数会非常大，即矩阵病态程度很严重。
• 矩阵的特征值、特征向量和特征多项式
  • （1）d=eig(A)返回n*n矩阵A的n个特征值。
  • （2）[V,D]=eig(A)返回以矩阵A的特征向量为列的矩阵V和以矩阵A的特征值为对角元素的矩阵D。
  • poly(A)生成矩阵A的特征多项式，即det(λ*I-A)这一λ的n阶多项式。矩阵A的特征多项式的根，实际上就是矩阵A的特征值。
• 矩阵的标准正交基
  • 这样的最少个数的一组基向量称为该空间的基，如果这些向量正好长度为1，彼此正交，则称为标准正交基。
  • 在MATLAB中，可以通过orth函数产生矩阵A的线性空间的一组标准正交基，即若B=orth(A)，则B的列向量组成了矩阵A的线性空间的一组标准正交基，于是B’*B=eye(rank(A))。
• 矩阵分解
  • LU分解
    • LU分解，是把矩阵A分解为两个矩阵的乘积，其中一个是下三角矩阵置换后的矩阵，另一个是上三角矩阵。MATLAB中通过函数lu可以实现矩阵的LU分解。
      • （1）[L,U]=lu(A)把矩阵A分解为下三角矩阵的置换矩阵L和上三角矩阵U，满足A=L*U。
      • （2）[L,U,P]=lu(A)的分解结果中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵，P是一个置换矩阵，满足LU = PA。
  • Cholesky分解
    • 一个对称正定矩阵，可以分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，这种分解称为Cholesky分解。MATLAB中通过chol函数实现矩阵的Cholesky分解。
    • R=chol(A)得到一个上三角矩阵，满足R’*R=A。
    • 因为chol只能分解对称正定矩阵，因此使用chol之前最好通过eig命令检查矩阵A的所有特征值是否为正（即矩阵是否正定）。
  • QR分解
    • QR分解是把矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。MATLAB中实现QR分解的命令是qr。
    • [Q,R]=qr(A)把矩阵A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，满足A=Q*R。
    • QR分解不仅适用于分解方阵，也可以分解长方形矩阵。
  • SVD分解（奇异值分解）
    • 奇异值分解也是常用的矩阵分解之一。MATLAB中通过svd函数实现矩阵的奇异值分解。
      • （1）s=svd[A]返回矩阵A的奇异值组成的列向量。
      • （2）[U,S,V]=svd(A)将矩阵A分解为3个矩阵的乘积，即A=USV’：其中U和V是正交矩阵，S是一个对角矩阵，其对角元素为矩阵A奇异值的降序排列。
  • Schur分解
    • MATLAB中实现Schur分解的命令是schur。其语法格式为：
    • 其中，U是一个正交矩阵，T是一个上三角矩阵，称为A的Schur矩阵，并且满足A=UTU’。
• 矩阵的对角元素操作
  • MATLAB中支持的对矩阵对角元素的操作包括：提取对角元素，求矩阵对角元素的和（矩阵的迹），提取矩阵的上三角或下三角部分。
    • （1）函数diag提取矩阵的对角元素为一个向量。
    • （2）函数trace计算矩阵的迹。
    • （3）函数tril提取矩阵的下三角部分。
    • （4）函数triu提取矩阵的上三角部分。
• 矩阵分析函数总结
  

线性方程组

• 线性方程组的表示和种类
  • （1）当方程个数等于未知数个数，即系数矩阵A是一个方阵而且满秩时，即rank(A)=m=n，此线性方程组具有唯一解，称为恰定方程组
  • （2）当方程个数小于未知数个数，即m< n时，线性方程组有无穷多个可能的解，称为欠定方程组。
  • （3）当有效方程个数（线性无关的方程个数）大于未知数个数时（一般m>n都对应这种情况），线性方程组肯定没有精确解，称为超定方程组。
• 线性方程组的MATLAB求解
  • 高斯消元法
    • 求解线性方程组可以通过高斯消元法，即将扩展矩阵[A b]通过行方向的线性运算变形为[D nb]形式，其中D和A尺寸相同且其最左上部分是一个单位矩阵。
    • （1）对于恰定方程组，D是和A同尺寸的单位矩阵，此时方程组的解的每一个分量可以通过X（i）=nb（i）/D（i，i）计算得到。
    • （2）对于欠定方程组，D的左上部是一个比A小的k*k的单位矩阵，这时候把i>k的X(i)置为0，i<=k的X(i)就可以通过X(i)=nb(i)/D(i,i)计算得到。
    • （3）对于超定方程组，高斯消元后只能看出该方程组没有解。
  • 矩阵除法求解
    • 求解线性方程组最简单的办法是用矩阵的除法。AX=b的解可以由X=A\b得到，XA =b的解可以由X=b/A得到，注意，这里应用左除和右除对应的方程组形式的不同。
    • 矩阵除法求解线性方程组，不会返回方程组类型的信息，即无论哪种类型的方程组，MATLAB矩阵除法都会返回一个计算结果。对于恰定方程组，这个结果就是其唯一解；对于欠定方程组，此结果是其一个特解；对于超定方程组，计算结果是方程组最小二乘意义上的解。
  • 矩阵求逆求解
    • 求解线性方程组也可以通过逆矩阵的方法。对于方程组A*X=b：
    • （1）当A是方阵时，X=inv(A)*b。
    • （2）当A不是方阵时，X=pinv(A)*b。
• 特殊矩阵
  • 特殊矩阵生成函数
    
  • 稀疏矩阵
    • 在通常情况下，MATLAB中顺序存储普通矩阵的各个元素。但在有些应用领域，矩阵中零元素非常多，在庞大的矩阵中只有非常有限的非零元素，这时候如果还用顺序存储方式，会耗费很多不必要的内存空间，而且对于矩阵运算、处理也带来了不必要的复杂性。针对这种情况，MATLAB中可以采用稀疏矩阵提高存储、运算效率。
    • MATLAB存储稀疏矩阵时，只存储矩阵中的非零元素及其位置索引。这对于大规模的零元素居多的数组存储是非常高效的。
    • MATLAB通过3个数组来存储一个m行n列的稀疏矩阵的信息。
      • 第一个数组是浮点类型，存储了稀疏矩阵中所有非零元素的值（例如k个）。
      • 第二个数组是整型，存储了这k个非零元素的行索引。
      • 第三个数组是整型，存储了原来的m行n列元素中每一列第一个非零元素在前两个数组中的位置，以及第n列最后一个非零元素在前两个数组中的位置。
  • 稀疏矩阵的创建
    • MATLAB中可以通过sparse函数把普通矩阵转换成稀疏矩阵，也可以通过full函数把稀疏矩阵转换为对应的普通矩阵。
  • 稀疏矩阵函数